Вправа 538 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №538
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:

Система 1

$$\left\{\begin{array}{l} 4 y^2+x y=22 \\ x+5 y=13 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Виразимо $x$ з другого рівняння:

$$x=13-5 y$$

2. Підставимо у перше рівняння:

$$\begin{aligned} & 4 y^2+(13-5 y) y=22 \\ & 4 y^2+13 y-5 y^2=22 \\ & -y^2+13 y-22=0 \end{aligned}$$

3. Розв'яжемо квадратне рівняння:

$$y^2-13 y+22=0$$


Знаходимо дискримінант:

$$D=13^2-4(1)(22)=169-88=81$$


Корені:

$$\begin{gathered} y=\frac{13 \pm \sqrt{81}}{2} \\ y=\frac{13 \pm 9}{2} \end{gathered}$$


$$y=11 \quad \text { або } \quad y=2$$

4. Знайдемо $x$ :
- Якщо $y=11$ :

$$x=13-5(11)=13-55=-42$$

- Якщо $y=2$ :

$$x=13-5(2)=13-10=3 .$$


Відповідь:

$$(-42,11),(3,2)$$
Система №2:

$$\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=25 \\ x+\frac{y}{2}=5 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. 3 другого рівняння:

$$x=5-\frac{y}{2}$$

2. Підставимо $x=5-\frac{y}{2}$ у перше рівняння:

$$\left(5-\frac{y}{2}\right)^2+y^2=25$$

3. Розкриваємо дужки:

$$\begin{aligned} & 25-5 y+\frac{y^2}{4}+y^2=25 \\ & \frac{y^2}{4}+y^2+25-5 y=25 \end{aligned}$$

4. Спрощуємо:

$$\begin{gathered} \frac{y^2}{4}+y^2-5 y=0 \\ \frac{5 y^2}{4}-5 y=0 \\ \frac{5 y(y-4)}{4}=0 \end{gathered}$$

5. Розв'язки:

$$y=0, \quad y=4$$

6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=0$ :

$$x=5-\frac{0}{2}=5$$

- Якщо $y=4$ :

$$x=5-\frac{4}{2}=3$$


Відповідь:

$$(x, y)=(5,0),(3,4)$$
Система №3:

$$\left\{\begin{array}{l} x+2 y=6 \\ x^2+x y+y^2=12 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. 3 першого рівняння:

$$x=6-2 y$$

2. Підставимо $x=6-2 y$ у друге рівняння:

$$(6-2 y)^2+(6-2 y) y+y^2=12$$

3. Розкриваємо дужки:

$$\begin{gathered} 36-24 y+4 y^2+6 y-2 y^2+y^2=12 \\ 36-18 y+3 y^2=12 \end{gathered}$$

4. Спрощуємо:

$$\begin{gathered} 3 y^2-18 y+24=0 \\ y^2-6 y+8=0 \end{gathered}$$

5. Розв'язуємо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} y=\frac{6 \pm \sqrt{36-32}}{2} \\ y=\frac{6 \pm 2}{2} \\ y_1=4, \quad y_2=2 \end{gathered}$$

6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=4$ :

$$x=6-2 \cdot 4=-2$$

- Якщо $y=2$ :

$$x=6-2 \cdot 2=2$$


Відповідь:

$$(x, y)=(-2,4),(2,2)$$
Система №4:

$$\left\{\begin{array}{l} x-y=1 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12} \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. 3 першого рівняння:

$$x-y+1$$

2. Підставимо $x-y+1$ у друте рівняння:

$$\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y}-\frac{7}{12}$$

3. Приводимо до спільного знаменника:

$$\begin{gathered} \frac{y+(y+1)}{y(y+1)}-\frac{7}{12} \\ \frac{2 y+1}{y^2+y}-\frac{7}{12} \end{gathered}$$

4. Перехресно множимо:

$$\begin{gathered} 12(2 y+1)-7\left(y^2+y\right) \\ 24 y+12-7 y^2+7 y \end{gathered}$$

5. Спроиуемо:

$$7 y^2-17 y-12-0$$

6. Розв'язуємо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} y-\frac{17 \pm \sqrt{17^2-4 \cdot 7 \cdot(-12)}}{2 \cdot 7} \\ y=\frac{17 \pm \sqrt{289+336}}{14} \\ y=\frac{17 \pm \sqrt{625}}{14} \\ y-\frac{17 \pm 25}{14} \\ y_1-3, \quad y_2--\frac{8}{14}--\frac{4}{7} \end{gathered}$$

7. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y-3$ :

$$x-3+1-4$$

- Якщо $y=-\frac{4}{7}$ :

$$x=-\frac{4}{7}+1-\frac{3}{7}$$


Відповідь:

$$(x, y)-(4,3),\left(\frac{3}{7},-\frac{4}{7}\right)$$