Вправа 538 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №538
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь: Система 1 $$
\left\{\begin{array}{l}
4 y^2+x y=22 \\
x+5 y=13
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Виразимо $x$ з другого рівняння: $$
x=13-5 y
$$ 2. Підставимо у перше рівняння: $$
\begin{aligned}
& 4 y^2+(13-5 y) y=22 \\
& 4 y^2+13 y-5 y^2=22 \\
& -y^2+13 y-22=0
\end{aligned}
$$ 3. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
y^2-13 y+22=0
$$
Знаходимо дискримінант: $$
D=13^2-4(1)(22)=169-88=81
$$
Корені: $$
\begin{gathered}
y=\frac{13 \pm \sqrt{81}}{2} \\
y=\frac{13 \pm 9}{2}
\end{gathered}
$$
$$
y=11 \quad \text { або } \quad y=2
$$ 4. Знайдемо $x$ :
- Якщо $y=11$ : $$
x=13-5(11)=13-55=-42
$$ - Якщо $y=2$ : $$
x=13-5(2)=13-10=3 .
$$
Відповідь: $$
(-42,11),(3,2)
$$
Система №2: $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=25 \\
x+\frac{y}{2}=5
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 другого рівняння: $$
x=5-\frac{y}{2}
$$ 2. Підставимо $x=5-\frac{y}{2}$ у перше рівняння: $$
\left(5-\frac{y}{2}\right)^2+y^2=25
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{aligned}
& 25-5 y+\frac{y^2}{4}+y^2=25 \\
& \frac{y^2}{4}+y^2+25-5 y=25
\end{aligned}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
\frac{y^2}{4}+y^2-5 y=0 \\
\frac{5 y^2}{4}-5 y=0 \\
\frac{5 y(y-4)}{4}=0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язки: $$
y=0, \quad y=4
$$ 6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=0$ : $$
x=5-\frac{0}{2}=5
$$ - Якщо $y=4$ : $$
x=5-\frac{4}{2}=3
$$
Відповідь: $$
(x, y)=(5,0),(3,4)
$$
Система №3: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+2 y=6 \\
x^2+x y+y^2=12
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $$
x=6-2 y
$$ 2. Підставимо $x=6-2 y$ у друге рівняння: $$
(6-2 y)^2+(6-2 y) y+y^2=12
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
36-24 y+4 y^2+6 y-2 y^2+y^2=12 \\
36-18 y+3 y^2=12
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
3 y^2-18 y+24=0 \\
y^2-6 y+8=0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{6 \pm \sqrt{36-32}}{2} \\
y=\frac{6 \pm 2}{2} \\
y_1=4, \quad y_2=2
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=4$ : $$
x=6-2 \cdot 4=-2
$$ - Якщо $y=2$ : $$
x=6-2 \cdot 2=2
$$
Відповідь: $$
(x, y)=(-2,4),(2,2)
$$
Система №4: $$
\left\{\begin{array}{l}
x-y=1 \\
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $$
x-y+1
$$ 2. Підставимо $x-y+1$ у друте рівняння: $$
\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y}-\frac{7}{12}
$$ 3. Приводимо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
\frac{y+(y+1)}{y(y+1)}-\frac{7}{12} \\
\frac{2 y+1}{y^2+y}-\frac{7}{12}
\end{gathered}
$$ 4. Перехресно множимо: $$
\begin{gathered}
12(2 y+1)-7\left(y^2+y\right) \\
24 y+12-7 y^2+7 y
\end{gathered}
$$ 5. Спроиуемо: $$
7 y^2-17 y-12-0
$$ 6. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y-\frac{17 \pm \sqrt{17^2-4 \cdot 7 \cdot(-12)}}{2 \cdot 7} \\
y=\frac{17 \pm \sqrt{289+336}}{14} \\
y=\frac{17 \pm \sqrt{625}}{14} \\
y-\frac{17 \pm 25}{14} \\
y_1-3, \quad y_2--\frac{8}{14}--\frac{4}{7}
\end{gathered}
$$ 7. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y-3$ : $$
x-3+1-4
$$ - Якщо $y=-\frac{4}{7}$ : $$
x=-\frac{4}{7}+1-\frac{3}{7}
$$
Відповідь: $$
(x, y)-(4,3),\left(\frac{3}{7},-\frac{4}{7}\right)
$$
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь: Система 1 $$
\left\{\begin{array}{l}
4 y^2+x y=22 \\
x+5 y=13
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Виразимо $x$ з другого рівняння: $$
x=13-5 y
$$ 2. Підставимо у перше рівняння: $$
\begin{aligned}
& 4 y^2+(13-5 y) y=22 \\
& 4 y^2+13 y-5 y^2=22 \\
& -y^2+13 y-22=0
\end{aligned}
$$ 3. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
y^2-13 y+22=0
$$
Знаходимо дискримінант: $$
D=13^2-4(1)(22)=169-88=81
$$
Корені: $$
\begin{gathered}
y=\frac{13 \pm \sqrt{81}}{2} \\
y=\frac{13 \pm 9}{2}
\end{gathered}
$$
$$
y=11 \quad \text { або } \quad y=2
$$ 4. Знайдемо $x$ :
- Якщо $y=11$ : $$
x=13-5(11)=13-55=-42
$$ - Якщо $y=2$ : $$
x=13-5(2)=13-10=3 .
$$
Відповідь: $$
(-42,11),(3,2)
$$
Система №2: $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=25 \\
x+\frac{y}{2}=5
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 другого рівняння: $$
x=5-\frac{y}{2}
$$ 2. Підставимо $x=5-\frac{y}{2}$ у перше рівняння: $$
\left(5-\frac{y}{2}\right)^2+y^2=25
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{aligned}
& 25-5 y+\frac{y^2}{4}+y^2=25 \\
& \frac{y^2}{4}+y^2+25-5 y=25
\end{aligned}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
\frac{y^2}{4}+y^2-5 y=0 \\
\frac{5 y^2}{4}-5 y=0 \\
\frac{5 y(y-4)}{4}=0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язки: $$
y=0, \quad y=4
$$ 6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=0$ : $$
x=5-\frac{0}{2}=5
$$ - Якщо $y=4$ : $$
x=5-\frac{4}{2}=3
$$
Відповідь: $$
(x, y)=(5,0),(3,4)
$$
Система №3: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+2 y=6 \\
x^2+x y+y^2=12
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $$
x=6-2 y
$$ 2. Підставимо $x=6-2 y$ у друге рівняння: $$
(6-2 y)^2+(6-2 y) y+y^2=12
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
36-24 y+4 y^2+6 y-2 y^2+y^2=12 \\
36-18 y+3 y^2=12
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуємо: $$
\begin{gathered}
3 y^2-18 y+24=0 \\
y^2-6 y+8=0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{6 \pm \sqrt{36-32}}{2} \\
y=\frac{6 \pm 2}{2} \\
y_1=4, \quad y_2=2
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=4$ : $$
x=6-2 \cdot 4=-2
$$ - Якщо $y=2$ : $$
x=6-2 \cdot 2=2
$$
Відповідь: $$
(x, y)=(-2,4),(2,2)
$$
Система №4: $$
\left\{\begin{array}{l}
x-y=1 \\
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $$
x-y+1
$$ 2. Підставимо $x-y+1$ у друте рівняння: $$
\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y}-\frac{7}{12}
$$ 3. Приводимо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
\frac{y+(y+1)}{y(y+1)}-\frac{7}{12} \\
\frac{2 y+1}{y^2+y}-\frac{7}{12}
\end{gathered}
$$ 4. Перехресно множимо: $$
\begin{gathered}
12(2 y+1)-7\left(y^2+y\right) \\
24 y+12-7 y^2+7 y
\end{gathered}
$$ 5. Спроиуемо: $$
7 y^2-17 y-12-0
$$ 6. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y-\frac{17 \pm \sqrt{17^2-4 \cdot 7 \cdot(-12)}}{2 \cdot 7} \\
y=\frac{17 \pm \sqrt{289+336}}{14} \\
y=\frac{17 \pm \sqrt{625}}{14} \\
y-\frac{17 \pm 25}{14} \\
y_1-3, \quad y_2--\frac{8}{14}--\frac{4}{7}
\end{gathered}
$$ 7. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y-3$ : $$
x-3+1-4
$$ - Якщо $y=-\frac{4}{7}$ : $$
x=-\frac{4}{7}+1-\frac{3}{7}
$$
Відповідь: $$
(x, y)-(4,3),\left(\frac{3}{7},-\frac{4}{7}\right)
$$
