Вправа 539 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №539
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:

Система 1

$$\left\{\begin{array}{l} 3 y^2-x y=2 \\ x-2 y=1 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Виразимо $x$ з другого рівняння:

$$x=1+2 y$$

2. Підставимо в перше рівняння:

$$\begin{gathered} 3 y^2-(1+2 y) y=2 \\ 3 y^2-y-2 y^2=2 \\ y^2-y-2=0 \end{gathered}$$

3. Розв'яжемо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} y=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} \\ y=\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} \\ y=\frac{1 \pm 3}{2} \\ y=2 \quad \text { або } \quad y=-1 \end{gathered}$$

4. Знайдемо $x$ :
- Якщо $y=2$ :

$$x=1+2(2)=5$$

- Якщо $y=-1$ :

$$x=1+2(-1)=-1$$


Відповідь:

$$(5,2),(-1,-1)$$
Система №2:

$$\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2-13 \\ \frac{\pi}{3}+y-3 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. 3 другого рівняння:

$$x-3(3-y)-9-3 y$$

2. Підставимо $x-9-3 y$ у перше рівняння:

$$(9-3 y)^2+y^2-13$$

3. Розкриваємо дужки:

$$81-54 y+9 y^2+y^2-13$$

4. Спрощуемо:

$$\begin{aligned} & 10 y^2-54 y+81-13 \\ & 10 y^2-54 y+68-0 \end{aligned}$$

5. Розв'язуємо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} y=\frac{-(-54) \pm \sqrt{(-54)^2-4 \cdot 10 \cdot 68}}{2 \cdot 10} \\ y-\frac{54 \pm \sqrt{2916-2720}}{20} \\ y-\frac{54 \pm \sqrt{196}}{20} \\ y-\frac{54 \pm 14}{20} \\ y_1=\frac{68}{20}-3.4, \quad y_2-\frac{40}{20}-2 \end{gathered}$$

6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=3.4$ :

$$x-9-3 \cdot 3.4--1.2$$

- Якщо $y-2$ :

$$x-9-3 \cdot 2-3$$


Відповідь: $(x, y)-(3,2),(-1.2,3.4)$.
Система №3:

$$\left\{\begin{array}{l} x+2 y-1 \\ x^2-x y-y^2=11 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. 3 першого рівняння:

$$x-1-2 y$$

2. Підставимо $x-1-2 y$ у друге рівняння:

$$(1-2 y)^2-(1-2 y) y-y^2-11 .$$

3. Розкриваємо дужки:

$$\begin{gathered} \left(1-4 y+4 y^2\right)-\left(y-2 y^2\right)-y^2-11 \\ 1-4 y+4 y^2-y+2 y^2-y^2-11 \end{gathered}$$

4. Спрощуемо:

$$\begin{gathered} 1-5 y+5 y^2-11 \\ 5 y^2-5 y-10-0 \\ y^2-y-2-0 \end{gathered}$$

5. Розв'язуємо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} y=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot(-2)}}{2 \cdot 1} . \\ y-\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} . \\ y-\frac{1 \pm 3}{2} \\ y_1-2, \quad y_2--1 . \end{gathered}$$

6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y-2$ :

$$x-1-2 \cdot 2--3$$

- Якщо $y=-1$ :

$$x-1-2 \cdot(-1)-3$$


Відповідь: $(x, y)-(-3,2),(3,-1)$.
Система №4:

$$\left\{\begin{array}{l} x+y=5 \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6} \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. 3 першого рівняння:

$$y=5-x$$

2. Підставимо $y=5-x$ у друге рівняння:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{5-x}=\frac{1}{6}$$

3. Приводимо до спільного знаменника:

$$\begin{gathered} \frac{(5-x)-x}{x(5-x)}=\frac{1}{6} \\ \frac{5-2 x}{x(5-x)}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

4. Перехресно множимо:

$$\begin{gathered} 6(5-2 x)=x(5-x) \\ 30-12 x=5 x-x^2 \end{gathered}$$

5. Переносимо все в один бік:

$$x^2-17 x+30=0$$
6. Розв'язуємо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} x=\frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2-4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \\ x=\frac{17 \pm \sqrt{289-120}}{2} \\ x=\frac{17 \pm \sqrt{169}}{2} \\ x=\frac{17 \pm 13}{2} \\ x_1=15, \quad x_2=2 \end{gathered}$$

7. Знаходимо $y$ :
- Якщо $x=15$ :

$$y=5-15=-10$$

- Якщо $x=2$ :

$$y=5-2=3$$


Відповідь: $(x, y)=(15,-10),(2,3)$.