Вправа 539 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №539
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь: Система 1 $$
\left\{\begin{array}{l}
3 y^2-x y=2 \\
x-2 y=1
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Виразимо $x$ з другого рівняння: $$
x=1+2 y
$$ 2. Підставимо в перше рівняння: $$
\begin{gathered}
3 y^2-(1+2 y) y=2 \\
3 y^2-y-2 y^2=2 \\
y^2-y-2=0
\end{gathered}
$$ 3. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} \\
y=\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} \\
y=\frac{1 \pm 3}{2} \\
y=2 \quad \text { або } \quad y=-1
\end{gathered}
$$ 4. Знайдемо $x$ :
- Якщо $y=2$ : $$
x=1+2(2)=5
$$ - Якщо $y=-1$ : $$
x=1+2(-1)=-1
$$
Відповідь: $$
(5,2),(-1,-1)
$$
Система №2: $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2-13 \\
\frac{\pi}{3}+y-3
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 другого рівняння: $$
x-3(3-y)-9-3 y
$$ 2. Підставимо $x-9-3 y$ у перше рівняння: $$
(9-3 y)^2+y^2-13
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
81-54 y+9 y^2+y^2-13
$$ 4. Спрощуемо: $$
\begin{aligned}
& 10 y^2-54 y+81-13 \\
& 10 y^2-54 y+68-0
\end{aligned}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{-(-54) \pm \sqrt{(-54)^2-4 \cdot 10 \cdot 68}}{2 \cdot 10} \\
y-\frac{54 \pm \sqrt{2916-2720}}{20} \\
y-\frac{54 \pm \sqrt{196}}{20} \\
y-\frac{54 \pm 14}{20} \\
y_1=\frac{68}{20}-3.4, \quad y_2-\frac{40}{20}-2
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=3.4$ : $$
x-9-3 \cdot 3.4--1.2
$$ - Якщо $y-2$ : $$
x-9-3 \cdot 2-3
$$
Відповідь: $(x, y)-(3,2),(-1.2,3.4)$.
Система №3: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+2 y-1 \\
x^2-x y-y^2=11
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $$
x-1-2 y
$$ 2. Підставимо $x-1-2 y$ у друге рівняння: $$
(1-2 y)^2-(1-2 y) y-y^2-11 .
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
\left(1-4 y+4 y^2\right)-\left(y-2 y^2\right)-y^2-11 \\
1-4 y+4 y^2-y+2 y^2-y^2-11
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуемо: $$
\begin{gathered}
1-5 y+5 y^2-11 \\
5 y^2-5 y-10-0 \\
y^2-y-2-0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot(-2)}}{2 \cdot 1} . \\
y-\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} . \\
y-\frac{1 \pm 3}{2} \\
y_1-2, \quad y_2--1 .
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y-2$ : $$
x-1-2 \cdot 2--3
$$ - Якщо $y=-1$ : $$
x-1-2 \cdot(-1)-3
$$
Відповідь: $(x, y)-(-3,2),(3,-1)$.
Система №4: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=5 \\
\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $$
y=5-x
$$ 2. Підставимо $y=5-x$ у друге рівняння: $$
\frac{1}{x}-\frac{1}{5-x}=\frac{1}{6}
$$ 3. Приводимо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
\frac{(5-x)-x}{x(5-x)}=\frac{1}{6} \\
\frac{5-2 x}{x(5-x)}=\frac{1}{6}
\end{gathered}
$$ 4. Перехресно множимо: $$
\begin{gathered}
6(5-2 x)=x(5-x) \\
30-12 x=5 x-x^2
\end{gathered}
$$ 5. Переносимо все в один бік: $$
x^2-17 x+30=0
$$
6. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2-4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \\
x=\frac{17 \pm \sqrt{289-120}}{2} \\
x=\frac{17 \pm \sqrt{169}}{2} \\
x=\frac{17 \pm 13}{2} \\
x_1=15, \quad x_2=2
\end{gathered}
$$ 7. Знаходимо $y$ :
- Якщо $x=15$ : $$
y=5-15=-10
$$ - Якщо $x=2$ : $$
y=5-2=3
$$
Відповідь: $(x, y)=(15,-10),(2,3)$.
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь: Система 1 $$
\left\{\begin{array}{l}
3 y^2-x y=2 \\
x-2 y=1
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Виразимо $x$ з другого рівняння: $$
x=1+2 y
$$ 2. Підставимо в перше рівняння: $$
\begin{gathered}
3 y^2-(1+2 y) y=2 \\
3 y^2-y-2 y^2=2 \\
y^2-y-2=0
\end{gathered}
$$ 3. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} \\
y=\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} \\
y=\frac{1 \pm 3}{2} \\
y=2 \quad \text { або } \quad y=-1
\end{gathered}
$$ 4. Знайдемо $x$ :
- Якщо $y=2$ : $$
x=1+2(2)=5
$$ - Якщо $y=-1$ : $$
x=1+2(-1)=-1
$$
Відповідь: $$
(5,2),(-1,-1)
$$
Система №2: $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2-13 \\
\frac{\pi}{3}+y-3
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 другого рівняння: $$
x-3(3-y)-9-3 y
$$ 2. Підставимо $x-9-3 y$ у перше рівняння: $$
(9-3 y)^2+y^2-13
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
81-54 y+9 y^2+y^2-13
$$ 4. Спрощуемо: $$
\begin{aligned}
& 10 y^2-54 y+81-13 \\
& 10 y^2-54 y+68-0
\end{aligned}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{-(-54) \pm \sqrt{(-54)^2-4 \cdot 10 \cdot 68}}{2 \cdot 10} \\
y-\frac{54 \pm \sqrt{2916-2720}}{20} \\
y-\frac{54 \pm \sqrt{196}}{20} \\
y-\frac{54 \pm 14}{20} \\
y_1=\frac{68}{20}-3.4, \quad y_2-\frac{40}{20}-2
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y=3.4$ : $$
x-9-3 \cdot 3.4--1.2
$$ - Якщо $y-2$ : $$
x-9-3 \cdot 2-3
$$
Відповідь: $(x, y)-(3,2),(-1.2,3.4)$.
Система №3: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+2 y-1 \\
x^2-x y-y^2=11
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $$
x-1-2 y
$$ 2. Підставимо $x-1-2 y$ у друге рівняння: $$
(1-2 y)^2-(1-2 y) y-y^2-11 .
$$ 3. Розкриваємо дужки: $$
\begin{gathered}
\left(1-4 y+4 y^2\right)-\left(y-2 y^2\right)-y^2-11 \\
1-4 y+4 y^2-y+2 y^2-y^2-11
\end{gathered}
$$ 4. Спрощуемо: $$
\begin{gathered}
1-5 y+5 y^2-11 \\
5 y^2-5 y-10-0 \\
y^2-y-2-0
\end{gathered}
$$ 5. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot(-2)}}{2 \cdot 1} . \\
y-\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} . \\
y-\frac{1 \pm 3}{2} \\
y_1-2, \quad y_2--1 .
\end{gathered}
$$ 6. Знаходимо $x$ :
- Якщо $y-2$ : $$
x-1-2 \cdot 2--3
$$ - Якщо $y=-1$ : $$
x-1-2 \cdot(-1)-3
$$
Відповідь: $(x, y)-(-3,2),(3,-1)$.
Система №4: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=5 \\
\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. 3 першого рівняння: $$
y=5-x
$$ 2. Підставимо $y=5-x$ у друге рівняння: $$
\frac{1}{x}-\frac{1}{5-x}=\frac{1}{6}
$$ 3. Приводимо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
\frac{(5-x)-x}{x(5-x)}=\frac{1}{6} \\
\frac{5-2 x}{x(5-x)}=\frac{1}{6}
\end{gathered}
$$ 4. Перехресно множимо: $$
\begin{gathered}
6(5-2 x)=x(5-x) \\
30-12 x=5 x-x^2
\end{gathered}
$$ 5. Переносимо все в один бік: $$
x^2-17 x+30=0
$$
6. Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2-4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \\
x=\frac{17 \pm \sqrt{289-120}}{2} \\
x=\frac{17 \pm \sqrt{169}}{2} \\
x=\frac{17 \pm 13}{2} \\
x_1=15, \quad x_2=2
\end{gathered}
$$ 7. Знаходимо $y$ :
- Якщо $x=15$ : $$
y=5-15=-10
$$ - Якщо $x=2$ : $$
y=5-2=3
$$
Відповідь: $(x, y)=(15,-10),(2,3)$.
