Вправа 540 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №540
Умова: Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину: Система 1
Пряма: $$
x+y=5
$$
Парабола: $$
y=x^2-7
$$
Розв'язання:
1. Підставимо $y=5-x$ у рівняння параболи: $$
\begin{aligned}
& 5-x=x^2-7 \\
& x^2+x-12=0
\end{aligned}
$$ 2. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4(1)(-12)}}{2(1)} \\
x=\frac{-1 \pm \sqrt{1+48}}{2} \\
x=\frac{-1 \pm 7}{2} \\
x=3 \quad \text { або } \quad x=-4
\end{gathered}
$$ 3. Знайдемо $y$ :
- Якщо $x=3$ : $$
y=5-3=2
$$ - Якщо $x=-4$ : $$
y=5-(-4)=9
$$
Відповідь: $$
(3,2),(-4,9)
$$
Система 2
Коло: $$
x^2+y^2=34
$$
Гinepбола: $$
x y=15
$$
Розв'язання:
1. Виразимо $y$ з другого рівняння: $$
y=\frac{15}{x}
$$ 2. Підставимо у рівняння кола: $$
\begin{aligned}
x^2+\left(\frac{15}{x}\right)^2 & =34 \\
x^2+\frac{225}{x^2} & =34
\end{aligned}
$$ 3. Помножимо на $x^2$ : $$
x^4-34 x^2+225=0
$$
Позначимо $z=x^2$ : $$
z^2-34 z+225=0
$$
4. Знайдемо корені: $$
\begin{gathered}
z=\frac{34 \pm \sqrt{34^2-4(1)(225)}}{2(1)} \\
z=\frac{34 \pm \sqrt{1156-900}}{2} \\
z=\frac{34 \pm \sqrt{256}}{2} \\
z=\frac{34 \pm 16}{2} \\
z=25 \quad \text { або } \quad z=9
\end{gathered}
$$ 5. Звідси: $$
\begin{aligned}
& x^2=25 \Rightarrow x= \pm 5 \\
& x^2=9 \Rightarrow x= \pm 3
\end{aligned}
$$ 6. Знайдемо відповідні $y$ :
- Якщо $x=5$, то $y=\frac{15}{5}=3$.
- Якщо $x=-5$, то $y=\frac{15}{5}=-3$.
- Якщо $x=3$, то $y=\frac{15}{3}=5$.
- Якщо $x=-3$, то $y=\frac{15}{3}=-5$. Відповідь: $$
(5,3),(-5,-3),(3,5),(-3,-5)
$$