Вправа 540 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №540
Умова: Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину:

Система 1
Пряма:

$$x+y=5$$


Парабола:

$$y=x^2-7$$


Розв'язання:
1. Підставимо $y=5-x$ у рівняння параболи:

$$\begin{aligned} & 5-x=x^2-7 \\ & x^2+x-12=0 \end{aligned}$$

2. Розв'яжемо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4(1)(-12)}}{2(1)} \\ x=\frac{-1 \pm \sqrt{1+48}}{2} \\ x=\frac{-1 \pm 7}{2} \\ x=3 \quad \text { або } \quad x=-4 \end{gathered}$$

3. Знайдемо $y$ :
- Якщо $x=3$ :

$$y=5-3=2$$

- Якщо $x=-4$ :

$$y=5-(-4)=9$$


Відповідь:

$$(3,2),(-4,9)$$
Система 2
Коло:

$$x^2+y^2=34$$


Гinepбола:

$$x y=15$$


Розв'язання:
1. Виразимо $y$ з другого рівняння:

$$y=\frac{15}{x}$$

2. Підставимо у рівняння кола:

$$\begin{aligned} x^2+\left(\frac{15}{x}\right)^2 & =34 \\ x^2+\frac{225}{x^2} & =34 \end{aligned}$$

3. Помножимо на $x^2$ :

$$x^4-34 x^2+225=0$$


Позначимо $z=x^2$ :

$$z^2-34 z+225=0$$
4. Знайдемо корені:

$$\begin{gathered} z=\frac{34 \pm \sqrt{34^2-4(1)(225)}}{2(1)} \\ z=\frac{34 \pm \sqrt{1156-900}}{2} \\ z=\frac{34 \pm \sqrt{256}}{2} \\ z=\frac{34 \pm 16}{2} \\ z=25 \quad \text { або } \quad z=9 \end{gathered}$$

5. Звідси:

$$\begin{aligned} & x^2=25 \Rightarrow x= \pm 5 \\ & x^2=9 \Rightarrow x= \pm 3 \end{aligned}$$

6. Знайдемо відповідні $y$ :
- Якщо $x=5$, то $y=\frac{15}{5}=3$.
- Якщо $x=-5$, то $y=\frac{15}{5}=-3$.
- Якщо $x=3$, то $y=\frac{15}{3}=5$.
- Якщо $x=-3$, то $y=\frac{15}{3}=-5$.

Відповідь:

$$(5,3),(-5,-3),(3,5),(-3,-5)$$