Вправа 541 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №541
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь: Система 1 $$
\left\{\begin{array}{l}
x+x y=5 \\
x-x y=2
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Позначимо $z=x y$. Складаємо і віднімаємо рівняння: Сума: $$
\begin{gathered}
(x+x y)+(x-x y)=5+2 \\
2 x=7 \\
x=\frac{7}{2}
\end{gathered}
$$
Різниця: $$
\begin{gathered}
(x+x y)-(x-x y)=5-2 \\
2 x y=3 . \\
x y=\frac{3}{2}
\end{gathered}
$$ 2. Оскільки $x=\frac{7}{2}$, підставимо у $x y$ : $$
\frac{7}{2} y=\frac{3}{2}
$$
Розв'яжемо щодо $y$ : $$
y=\frac{3}{7}
$$
Відповідь: $$
\left(\frac{7}{2}, \frac{3}{7}\right)
$$
Система 2 $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=29 \\
x^2-y^2=-21
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Додаємо рівняння: $$
\begin{gathered}
\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2-y^2\right)=29-21 \\
2 x^2=8 \\
x^2=4
\end{gathered}
$$
Звідси: $$
x= \pm 2
$$ 2. Підставимо у перше рівняння: $$
\begin{gathered}
4+y^2=29 \\
y^2=25 \\
y= \pm 5
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
(2,5),(2,-5),(-2,5),(-2,-5)
$$
Система 3 $$
\left\{\begin{array}{l}
2 y^2+x y=36 \\
y^2+x y=20
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Віднімемо друге рівняння від першого: $$
\begin{gathered}
\left(2 y^2+x y\right)-\left(y^2+x y\right)=36-20 \\
y^2=16
\end{gathered}
$$
Звідси: $$
y= \pm 4
$$ 2. Знайдемо $x$.
- Якщо $y=4$ : $$
\begin{gathered}
16+4 x=20 \\
4 x=4 \\
x=1
\end{gathered}
$$ - Якщо $y=-4$ : $$
\begin{gathered}
16-4 x=20 \\
-4 x=4 \\
x=-1
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
(1,4),(-1,-4)
$$
Система 4 $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2-x y=-4 \\
3 x^2-2 x y=-7
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Позначимо: $z=x y$. Перше рівняння: $$
x^2-z=-4 \Rightarrow z=x^2+4
$$
Підставимо в друге рівняння: $$
\begin{gathered}
3 x^2-2\left(x^2+4\right)=-7, \\
3 x^2-2 x^2-8=-7, \\
x^2-8=-7, \\
x^2=1 .
\end{gathered}
$$
Звідси: $$
x= \pm 1
$$ 2. Знайдемо $y$ :
- Якщо $x=1$ : $$
\begin{gathered}
1^2-1 y=-4 \\
1-y=-4 \\
y=5
\end{gathered}
$$ - Якщо $x=-1$ : $$
\begin{gathered}
1+y=-4 \\
y=-5
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
(1,5),(-1,-5)
$$
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь: Система 1 $$
\left\{\begin{array}{l}
x+x y=5 \\
x-x y=2
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Позначимо $z=x y$. Складаємо і віднімаємо рівняння: Сума: $$
\begin{gathered}
(x+x y)+(x-x y)=5+2 \\
2 x=7 \\
x=\frac{7}{2}
\end{gathered}
$$
Різниця: $$
\begin{gathered}
(x+x y)-(x-x y)=5-2 \\
2 x y=3 . \\
x y=\frac{3}{2}
\end{gathered}
$$ 2. Оскільки $x=\frac{7}{2}$, підставимо у $x y$ : $$
\frac{7}{2} y=\frac{3}{2}
$$
Розв'яжемо щодо $y$ : $$
y=\frac{3}{7}
$$
Відповідь: $$
\left(\frac{7}{2}, \frac{3}{7}\right)
$$
Система 2 $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=29 \\
x^2-y^2=-21
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Додаємо рівняння: $$
\begin{gathered}
\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2-y^2\right)=29-21 \\
2 x^2=8 \\
x^2=4
\end{gathered}
$$
Звідси: $$
x= \pm 2
$$ 2. Підставимо у перше рівняння: $$
\begin{gathered}
4+y^2=29 \\
y^2=25 \\
y= \pm 5
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
(2,5),(2,-5),(-2,5),(-2,-5)
$$
Система 3 $$
\left\{\begin{array}{l}
2 y^2+x y=36 \\
y^2+x y=20
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Віднімемо друге рівняння від першого: $$
\begin{gathered}
\left(2 y^2+x y\right)-\left(y^2+x y\right)=36-20 \\
y^2=16
\end{gathered}
$$
Звідси: $$
y= \pm 4
$$ 2. Знайдемо $x$.
- Якщо $y=4$ : $$
\begin{gathered}
16+4 x=20 \\
4 x=4 \\
x=1
\end{gathered}
$$ - Якщо $y=-4$ : $$
\begin{gathered}
16-4 x=20 \\
-4 x=4 \\
x=-1
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
(1,4),(-1,-4)
$$
Система 4 $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2-x y=-4 \\
3 x^2-2 x y=-7
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Позначимо: $z=x y$. Перше рівняння: $$
x^2-z=-4 \Rightarrow z=x^2+4
$$
Підставимо в друге рівняння: $$
\begin{gathered}
3 x^2-2\left(x^2+4\right)=-7, \\
3 x^2-2 x^2-8=-7, \\
x^2-8=-7, \\
x^2=1 .
\end{gathered}
$$
Звідси: $$
x= \pm 1
$$ 2. Знайдемо $y$ :
- Якщо $x=1$ : $$
\begin{gathered}
1^2-1 y=-4 \\
1-y=-4 \\
y=5
\end{gathered}
$$ - Якщо $x=-1$ : $$
\begin{gathered}
1+y=-4 \\
y=-5
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
(1,5),(-1,-5)
$$
