Вправа 541 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №541
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:

Система 1

$$\left\{\begin{array}{l} x+x y=5 \\ x-x y=2 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Позначимо $z=x y$.

Складаємо і віднімаємо рівняння:

Сума:

$$\begin{gathered} (x+x y)+(x-x y)=5+2 \\ 2 x=7 \\ x=\frac{7}{2} \end{gathered}$$


Різниця:

$$\begin{gathered} (x+x y)-(x-x y)=5-2 \\ 2 x y=3 . \\ x y=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

2. Оскільки $x=\frac{7}{2}$, підставимо у $x y$ :

$$\frac{7}{2} y=\frac{3}{2}$$


Розв'яжемо щодо $y$ :

$$y=\frac{3}{7}$$


Відповідь:

$$\left(\frac{7}{2}, \frac{3}{7}\right)$$
Система 2

$$\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=29 \\ x^2-y^2=-21 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Додаємо рівняння:

$$\begin{gathered} \left(x^2+y^2\right)+\left(x^2-y^2\right)=29-21 \\ 2 x^2=8 \\ x^2=4 \end{gathered}$$


Звідси:

$$x= \pm 2$$

2. Підставимо у перше рівняння:

$$\begin{gathered} 4+y^2=29 \\ y^2=25 \\ y= \pm 5 \end{gathered}$$


Відповідь:

$$(2,5),(2,-5),(-2,5),(-2,-5)$$
Система 3

$$\left\{\begin{array}{l} 2 y^2+x y=36 \\ y^2+x y=20 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Віднімемо друге рівняння від першого:

$$\begin{gathered} \left(2 y^2+x y\right)-\left(y^2+x y\right)=36-20 \\ y^2=16 \end{gathered}$$


Звідси:

$$y= \pm 4$$

2. Знайдемо $x$.
- Якщо $y=4$ :

$$\begin{gathered} 16+4 x=20 \\ 4 x=4 \\ x=1 \end{gathered}$$

- Якщо $y=-4$ :

$$\begin{gathered} 16-4 x=20 \\ -4 x=4 \\ x=-1 \end{gathered}$$


Відповідь:

$$(1,4),(-1,-4)$$
Система 4

$$\left\{\begin{array}{l} x^2-x y=-4 \\ 3 x^2-2 x y=-7 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Позначимо: $z=x y$.

Перше рівняння:

$$x^2-z=-4 \Rightarrow z=x^2+4$$


Підставимо в друге рівняння:

$$\begin{gathered} 3 x^2-2\left(x^2+4\right)=-7, \\ 3 x^2-2 x^2-8=-7, \\ x^2-8=-7, \\ x^2=1 . \end{gathered}$$


Звідси:

$$x= \pm 1$$

2. Знайдемо $y$ :
- Якщо $x=1$ :

$$\begin{gathered} 1^2-1 y=-4 \\ 1-y=-4 \\ y=5 \end{gathered}$$

- Якщо $x=-1$ :

$$\begin{gathered} 1+y=-4 \\ y=-5 \end{gathered}$$


Відповідь:

$$(1,5),(-1,-5)$$