До змісту

Вправа 542 алгебра Істер гдз 9 клас

ГДЗ 9 клас алгебра Істер
Задача №542
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:
Система 1

{y+xy=3y−xy=−2 \left\{\begin{array}{l} y+x y=3 \\ y-x y=-2 \end{array}\right.


Розв'язання:
1. Складемо і віднімемо рівняння:

Сума:

(y+xy)+(y−xy)=3−22y=1y=12 \begin{gathered} (y+x y)+(y-x y)=3-2 \\ 2 y=1 \\ y=\frac{1}{2} \end{gathered}


Різниця:

(y+xy)−(y−xy)=3+22xy=5xy=52 \begin{gathered} (y+x y)-(y-x y)=3+2 \\ 2 x y=5 \\ x y=\frac{5}{2} \end{gathered}

2. Підставимо y=12y=\frac{1}{2} у рівняння:

x⋅12=52,x=5 \begin{gathered} x \cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}, \\ x=5 \end{gathered}


Відповідь:

(5,12) \left(5, \frac{1}{2}\right)
Система 2

{3y2+x2=133y2−x2=11 \left\{\begin{array}{l} 3 y^2+x^2=13 \\ 3 y^2-x^2=11 \end{array}\right.


Розв'язання:
1. Додаємо рівняння:

(3y2+x2)+(3y2−x2)=13+116y2=24y2=4y=±2 \begin{gathered} \left(3 y^2+x^2\right)+\left(3 y^2-x^2\right)=13+11 \\ 6 y^2=24 \\ y^2=4 \\ y= \pm 2 \end{gathered}

2. Підставимо y=2y=2 :

3(22)+x2=1312+x2=13x2=1x=±1 \begin{gathered} 3\left(2^2\right)+x^2=13 \\ 12+x^2=13 \\ x^2=1 \\ x= \pm 1 \end{gathered}


Відповідь:

(1,2),(−1,2),(1,−2),(−1,−2) (1,2),(-1,2),(1,-2),(-1,-2)
Задача №542. Розв'язання систем рівнянь:

Система 3:

{3x2−xy=10x2−xy=2 \left\{\begin{array}{l} 3 x^2-x y=10 \\ x^2-x y=2 \end{array}\right.


Розв'язання:
Позначимо xy=zx y=z. Тоді друга система перепишеться:

{3x2−z=10x2−z=2 \left\{\begin{array}{l} 3 x^2-z=10 \\ x^2-z=2 \end{array}\right.

1. Віднявши друге рівняння від першого:

(3x2−z)−(x2−z)=10−22x2=8⇒x2=4 \begin{gathered} \left(3 x^2-z\right)-\left(x^2-z\right)=10-2 \\ 2 x^2=8 \quad \Rightarrow \quad x^2=4 \end{gathered}

2. Підставимо x2=4x^2=4 у друге рівняння:

4−z=2⇒z=2 4-z=2 \quad \Rightarrow \quad z=2

3. Повертаємося до z=xyz=x y, тобто xy=2x y=2.
4. 3 урахуванням x2=4x^2=4 отримаємо x=±2x= \pm 2 :
- Якщо x=2x=2, то 2y=2⇒y=12 y=2 \Rightarrow y=1.
- Якщо x=−2x=-2, то −2y=2⇒y=−1-2 y=2 \Rightarrow y=-1.

Відповідь  :

(x,y)∈{(2,1),(−2,−1)}. (x, y) \in\{(2,1),(-2,-1)\} .
Система 4:

{xy+2y2=−13xy+y2=−8 \left\{\begin{array}{l} x y+2 y^2=-1 \\ 3 x y+y^2=-8 \end{array}\right.


Розв'язання:
Позначимо xy=zx y=z, тоді система перепишеться:

{z+2y2=−13z+y2=−8 \left\{\begin{array}{l} z+2 y^2=-1 \\ 3 z+y^2=-8 \end{array}\right.

1. Виразимо z з першого рівняння:

z=−1−2y2 z=-1-2 y^2

2. Підставимо z=−1−2y2z=-1-2 y^2 у друге рівняння:

3(−1−2y2)+y2=−8−3−6y2+y2=−8−5y2=−5⇒y2=1 \begin{gathered} 3\left(-1-2 y^2\right)+y^2=-8 \\ -3-6 y^2+y^2=-8 \\ -5 y^2=-5 \Rightarrow y^2=1 \end{gathered}

3. Звідси y=±1y= \pm 1 :
- Якщо y=1y=1, то z=−1−2(1)2=−3z=-1-2(1)^2=-3, тобто xy=−3x y=-3, і x=−3x=-3.
- Якщо y=−1y=-1, то z=−1−2(−1)2=−3z=-1-2(-1)^2=-3, тобто xy=−3x y=-3, і x=3x=3.

Відповідь :

(x,y)∈{(−3,1),(3,−1)} (x, y) \in\{(-3,1),(3,-1)\}