Вправа 542 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №542
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:
Система 1 $$
\left\{\begin{array}{l}
y+x y=3 \\
y-x y=-2
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Складемо і віднімемо рівняння: Сума: $$
\begin{gathered}
(y+x y)+(y-x y)=3-2 \\
2 y=1 \\
y=\frac{1}{2}
\end{gathered}
$$
Різниця: $$
\begin{gathered}
(y+x y)-(y-x y)=3+2 \\
2 x y=5 \\
x y=\frac{5}{2}
\end{gathered}
$$ 2. Підставимо $y=\frac{1}{2}$ у рівняння: $$
\begin{gathered}
x \cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}, \\
x=5
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
\left(5, \frac{1}{2}\right)
$$
Система 2 $$
\left\{\begin{array}{l}
3 y^2+x^2=13 \\
3 y^2-x^2=11
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Додаємо рівняння: $$
\begin{gathered}
\left(3 y^2+x^2\right)+\left(3 y^2-x^2\right)=13+11 \\
6 y^2=24 \\
y^2=4 \\
y= \pm 2
\end{gathered}
$$ 2. Підставимо $y=2$ : $$
\begin{gathered}
3\left(2^2\right)+x^2=13 \\
12+x^2=13 \\
x^2=1 \\
x= \pm 1
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
(1,2),(-1,2),(1,-2),(-1,-2)
$$
Задача №542. Розв'язання систем рівнянь: Система 3: $$
\left\{\begin{array}{l}
3 x^2-x y=10 \\
x^2-x y=2
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
Позначимо $x y=z$. Тоді друга система перепишеться: $$
\left\{\begin{array}{l}
3 x^2-z=10 \\
x^2-z=2
\end{array}\right.
$$ 1. Віднявши друге рівняння від першого: $$
\begin{gathered}
\left(3 x^2-z\right)-\left(x^2-z\right)=10-2 \\
2 x^2=8 \quad \Rightarrow \quad x^2=4
\end{gathered}
$$ 2. Підставимо $x^2=4$ у друге рівняння: $$
4-z=2 \quad \Rightarrow \quad z=2
$$ 3. Повертаємося до $z=x y$, тобто $x y=2$.
4. 3 урахуванням $x^2=4$ отримаємо $x= \pm 2$ :
- Якщо $x=2$, то $2 y=2 \Rightarrow y=1$.
- Якщо $x=-2$, то $-2 y=2 \Rightarrow y=-1$. Відповідь : $$
(x, y) \in\{(2,1),(-2,-1)\} .
$$
Система 4: $$
\left\{\begin{array}{l}
x y+2 y^2=-1 \\
3 x y+y^2=-8
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
Позначимо $x y=z$, тоді система перепишеться: $$
\left\{\begin{array}{l}
z+2 y^2=-1 \\
3 z+y^2=-8
\end{array}\right.
$$ 1. Виразимо z з першого рівняння: $$
z=-1-2 y^2
$$ 2. Підставимо $z=-1-2 y^2$ у друге рівняння: $$
\begin{gathered}
3\left(-1-2 y^2\right)+y^2=-8 \\
-3-6 y^2+y^2=-8 \\
-5 y^2=-5 \Rightarrow y^2=1
\end{gathered}
$$ 3. Звідси $y= \pm 1$ :
- Якщо $y=1$, то $z=-1-2(1)^2=-3$, тобто $x y=-3$, і $x=-3$.
- Якщо $y=-1$, то $z=-1-2(-1)^2=-3$, тобто $x y=-3$, і $x=3$. Відповідь : $$
(x, y) \in\{(-3,1),(3,-1)\}
$$
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:
Система 1 $$
\left\{\begin{array}{l}
y+x y=3 \\
y-x y=-2
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Складемо і віднімемо рівняння: Сума: $$
\begin{gathered}
(y+x y)+(y-x y)=3-2 \\
2 y=1 \\
y=\frac{1}{2}
\end{gathered}
$$
Різниця: $$
\begin{gathered}
(y+x y)-(y-x y)=3+2 \\
2 x y=5 \\
x y=\frac{5}{2}
\end{gathered}
$$ 2. Підставимо $y=\frac{1}{2}$ у рівняння: $$
\begin{gathered}
x \cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}, \\
x=5
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
\left(5, \frac{1}{2}\right)
$$
Система 2 $$
\left\{\begin{array}{l}
3 y^2+x^2=13 \\
3 y^2-x^2=11
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Додаємо рівняння: $$
\begin{gathered}
\left(3 y^2+x^2\right)+\left(3 y^2-x^2\right)=13+11 \\
6 y^2=24 \\
y^2=4 \\
y= \pm 2
\end{gathered}
$$ 2. Підставимо $y=2$ : $$
\begin{gathered}
3\left(2^2\right)+x^2=13 \\
12+x^2=13 \\
x^2=1 \\
x= \pm 1
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
(1,2),(-1,2),(1,-2),(-1,-2)
$$
Задача №542. Розв'язання систем рівнянь: Система 3: $$
\left\{\begin{array}{l}
3 x^2-x y=10 \\
x^2-x y=2
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
Позначимо $x y=z$. Тоді друга система перепишеться: $$
\left\{\begin{array}{l}
3 x^2-z=10 \\
x^2-z=2
\end{array}\right.
$$ 1. Віднявши друге рівняння від першого: $$
\begin{gathered}
\left(3 x^2-z\right)-\left(x^2-z\right)=10-2 \\
2 x^2=8 \quad \Rightarrow \quad x^2=4
\end{gathered}
$$ 2. Підставимо $x^2=4$ у друге рівняння: $$
4-z=2 \quad \Rightarrow \quad z=2
$$ 3. Повертаємося до $z=x y$, тобто $x y=2$.
4. 3 урахуванням $x^2=4$ отримаємо $x= \pm 2$ :
- Якщо $x=2$, то $2 y=2 \Rightarrow y=1$.
- Якщо $x=-2$, то $-2 y=2 \Rightarrow y=-1$. Відповідь : $$
(x, y) \in\{(2,1),(-2,-1)\} .
$$
Система 4: $$
\left\{\begin{array}{l}
x y+2 y^2=-1 \\
3 x y+y^2=-8
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
Позначимо $x y=z$, тоді система перепишеться: $$
\left\{\begin{array}{l}
z+2 y^2=-1 \\
3 z+y^2=-8
\end{array}\right.
$$ 1. Виразимо z з першого рівняння: $$
z=-1-2 y^2
$$ 2. Підставимо $z=-1-2 y^2$ у друге рівняння: $$
\begin{gathered}
3\left(-1-2 y^2\right)+y^2=-8 \\
-3-6 y^2+y^2=-8 \\
-5 y^2=-5 \Rightarrow y^2=1
\end{gathered}
$$ 3. Звідси $y= \pm 1$ :
- Якщо $y=1$, то $z=-1-2(1)^2=-3$, тобто $x y=-3$, і $x=-3$.
- Якщо $y=-1$, то $z=-1-2(-1)^2=-3$, тобто $x y=-3$, і $x=3$. Відповідь : $$
(x, y) \in\{(-3,1),(3,-1)\}
$$
