Вправа 543 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №543
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:

Система 1

$$\left\{\begin{array}{l} 2 x y-x=10 \\ 2 x y-y=9 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Позначимо $z=2 x y$. Тоді:

$$\begin{aligned} z-x=10 & \Rightarrow \quad z=x+10 \\ z-y=9 & \Rightarrow \quad z=y+9 \end{aligned}$$

2. Прирівняємо вирази для $z$ :

$$\begin{gathered} x+10=y+9 \\ x-y=-1 \end{gathered}$$

3. Підставимо $y=x+1$ у рівняння для $z$ :

$$z=x+10$$


Підставимо у рівняння:

$$\begin{gathered} 2 x(x+1)=x+10, \\ 2 x^2+2 x-x-10=0, \\ 2 x^2+x-10=0 \end{gathered}$$
Розв'яжемо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4(2)(-10)}}{2(2)}, \\ x=\frac{-1 \pm \sqrt{1+80}}{4}, \\ x=\frac{-1 \pm 9}{4} . \\ x=2 \quad \text { або } \quad x=-2.5 . \end{gathered}$$

4. Знайдемо $y$ :
- Якщо $x=2$ :

$$y=2+1=3$$

- Якщо $x=-2.5$ :

$$y=-2.5+1=-1.5$$


Відповідь:

$$(2,3),(-2.5,-1.5)$$
$$\left\{\begin{array}{l} 2 x-z-y=13 \\ x+z-2 y=2 \end{array}\right.$$

1. Виразимо $z$ з першого рівняння:

$$z=2 x-y-13$$

2. Підставимо $z=2 x-y-13$ у друге рівняння:

$$\begin{gathered} x+(2 x-y-13)-2 y=2 \\ x+2 x-y-13-2 y=2 \\ 3 x-3 y=15 \quad \Rightarrow \quad x-y=5 \end{gathered}$$

3. Виразимо $x=y+5$ та підставимо в перше рівняння:

$$\begin{gathered} 2(y+5)-(y+5) y-y=13 \\ 2 y+10-y^2-5 y-y=13 \\ -y^2-4 y+10=13 \\ -y^2-4 y-3=0 \Rightarrow y^2+4 y+3=0 \end{gathered}$$

4. Розв'яжемо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} y^2+4 y+3=0 \\ y=\frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}=\frac{-4 \pm \sqrt{16-12}}{2}=\frac{-4 \pm 2}{2} \\ y_1=-1, \quad y_2=-3 \end{gathered}$$

5. Знайдемо $x$ для кожного випадку:
- Якщо $y=-1$, то $x=y+5=-1+5=4$.
- Якщо $y=-3$, то $x=y+5=-3+5=2$.

Відповідь:

$$(x, y) \in\{(4,-1),(2,-3)\}$$