Вправа 545 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №545
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:

Система 1

$$\left\{\begin{array}{l} x+y+x y=5 \\ x y(x+y)=6 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Позначимо:

$$S=x+y, \quad P=x y$$


Тоді рівняння перетворюються:

$$\begin{gathered} S+P=5 \\ P \cdot S=6 \end{gathered}$$

2. 3 першого рівняння:

$$P=5-S$$


Підставимо в друге:

$$\begin{gathered} (5-S) S=6 \\ 5 S-S^2=6 \\ S^2-5 S+6=0 \end{gathered}$$

3. Знайдемо корені:

$$\begin{gathered} S=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} \\ S=\frac{5 \pm 1}{2} \end{gathered}$$
$$S=3 \quad \text { або } \quad S=2$$

4. Обчислимо $P$ :
- Якщо $S=3$ :

$$P=5-3=2$$

- Якщо $S=2$ :

$$P=5-2=3$$

5. Розв'яжемо квадратні рівняння:
- Для $S=3, P=2$ :

$$\begin{gathered} t^2-3 t+2=0 \\ t=1,2 \end{gathered}$$

- Для $S=2, P=3$ :

$$t^2-2 t+3=0$$


Це рівняння не має дійсних коренів.
Відповідь:

$$(1,2),(2,1)$$
Система 2

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6} \\ x-y=1 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Перше рівняння:

Позначимо $z=\frac{x}{y}$.
Тоді:

$$z+\frac{1}{z}=\frac{13}{6}$$


Помножимо на 6z:

$$6 z^2-13 z+6=0$$


Розв'язуємо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} z=\frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{12} \\ z=\frac{13 \pm 5}{12} \\ z=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}, \quad z=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

2. Підставимо:
- Якщо $z=\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$, то:
- Якщо $z=\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$, то:

$$x=\frac{3}{2} y$$


3 рівняння $x-y=1$ :

$$\begin{gathered} \frac{3}{2} y-y=1 \\ \frac{y}{2}=1 \\ y=2, \quad x=3 \end{gathered}$$

- Якщо $z=\frac{2}{3}$ :

$$x=\frac{2}{3} y$$


3 рівняння:

$$\begin{gathered} \frac{2}{3} y-y=1, \\ -\frac{y}{3}=1 \\ y=-3, \quad x=-2 . \end{gathered}$$


Відповідь:

$$(3,2),(-2,-3)$$
$$\left\{\begin{array}{l} (x+y)^2-2(x+y)+1=0 \\ (x-y)^2+3(x-y)-4=0 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Позначимо $u=x+y$ та $v=x-y$. Тоді система спрощується до:

$$\left\{\begin{array}{l} u^2-2 u+1=0 \\ v^2+3 v-4=0 \end{array}\right.$$

2. Розв'яжемо перше рівняння:

$$u^2-2 u+1=(u-1)^2=0 \Longrightarrow u=1$$

3. Розв'яжемо друге рівняння:

$$v^2+3 v-4=0 \Longrightarrow(v+4)(v-1)=0 \Longrightarrow v=-4 \text { або } v=1$$

4. Зворотне заміщення:
- Якщо $u=1, v=-4$, то:

$$\left\{\begin{array}{l} x+y=1 \\ x-y=-4 \end{array}\right.$$


Додаємо та віднімаємо рівняння:

$$x=-\frac{3}{2}, y=\frac{5}{2}$$

- Якщо $u=1, v=1$, то:

$$\left\{\begin{array}{l} x+y=1 \\ x-y=1 \end{array}\right.$$


Додаємо та віднімаємо рівняння:

$$x=1, y=0$$


Відповідь:

$$(x, y)=\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right),(1,0)$$
Розгляньмо систему:

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{x-2 y}{x+y}-\frac{x+y}{x-2 y}=\frac{15}{4} \\ 4 x+5 y=3 \end{array}\right.$$

1. Із другої рівності легко виразити $x$ :

$$4 x+5 y=3 \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{3-5 y}{4}$$

2. Підставимо цей вираз у перше рівняння. Спочатку перетворимо ліву частину першого рівняння в одну дробову вираз:

$$\frac{x-2 y}{x+y}-\frac{x+y}{x-2 y}=\frac{(x-2 y)^2-(x+y)^2}{(x+y)(x-2 y)}$$


Розкриваємо дужки:

$$(x-2 y)^2=x^2-4 x y+4 y^2, \quad(x+y)^2=x^2+2 x y+y^2 .$$


Тоді різниця:

$$(x-2 y)^2-(x+y)^2=\left(x^2-4 x y+4 y^2\right)-\left(x^2+2 x y+y^2\right)=-6 x y+3 y^2=3 y(-2 x+y)$$


Отже,

$$\frac{x-2 y}{x+y}-\frac{x+y}{x-2 y}=\frac{3 y(-2 x+y)}{(x+y)(x-2 y)}$$


За умовою задачі це дорівнює $\frac{15}{4}$, тобто

$$\frac{3 y(-2 x+y)}{(x+y)(x-2 y)}=\frac{15}{4}$$


Помножимо обидві частини на $4(x+y)(x-2 y)$ :

$$12 y(-2 x+y)=15(x+y)(x-2 y)$$
Розкриваючи дужки, дістанемо квадратне рівняння, куди потім підставимо $x=\frac{3-5 y}{4}$. Після впорядкування й спрощення воно зводиться до:

$$53 y^2+38 y-15=0$$


Розв'язуємо це рівняння за формулою:

$$y=\frac{-38 \pm \sqrt{38^2-4 \cdot 53 \cdot(-15)}}{2 \cdot 53}$$


Обчислення дають два корені:

$$y=-1 \quad \text { або } \quad y=\frac{15}{53}$$

3. Знайдемо відповідні $x$ з формули $x=\frac{3-5 y}{4}$ :
- Якщо $y=-1$, тоді

$$x=\frac{3-5(-1)}{4}=\frac{3+5}{4}=2$$

- Якщо $y=\frac{15}{53}$, тоді

$$x=\frac{3-5 \cdot \frac{15}{53}}{4}=\frac{3-\frac{75}{53}}{4}=\frac{\frac{159}{53}-\frac{75}{53}}{4}=\frac{84}{53} \frac{1}{4}=\frac{21}{53}$$

4. Перевіряємо, що ці пари $(x, y)$ задовольняють другу умову $4 x+5 y=3$ і не обнуляють знаменники $x+y$ та $x-2 y$ у першому рівнянні. Усе в порядку, тож маємо два розв'язки:

$$(x, y)=(2,-1) \quad \text { аб० } \quad\left(\frac{21}{53}, \frac{15}{53}\right) .$$