Вправа 545 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №545
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь: Система 1 $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y+x y=5 \\
x y(x+y)=6
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Позначимо: $$
S=x+y, \quad P=x y
$$
Тоді рівняння перетворюються: $$
\begin{gathered}
S+P=5 \\
P \cdot S=6
\end{gathered}
$$ 2. 3 першого рівняння: $$
P=5-S
$$
Підставимо в друге: $$
\begin{gathered}
(5-S) S=6 \\
5 S-S^2=6 \\
S^2-5 S+6=0
\end{gathered}
$$ 3. Знайдемо корені: $$
\begin{gathered}
S=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} \\
S=\frac{5 \pm 1}{2}
\end{gathered}
$$
$$
S=3 \quad \text { або } \quad S=2
$$ 4. Обчислимо $P$ :
- Якщо $S=3$ : $$
P=5-3=2
$$ - Якщо $S=2$ : $$
P=5-2=3
$$ 5. Розв'яжемо квадратні рівняння:
- Для $S=3, P=2$ : $$
\begin{gathered}
t^2-3 t+2=0 \\
t=1,2
\end{gathered}
$$ - Для $S=2, P=3$ : $$
t^2-2 t+3=0
$$
Це рівняння не має дійсних коренів.
Відповідь: $$
(1,2),(2,1)
$$
Система 2 $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6} \\
x-y=1
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Перше рівняння: Позначимо $z=\frac{x}{y}$.
Тоді: $$
z+\frac{1}{z}=\frac{13}{6}
$$
Помножимо на 6z: $$
6 z^2-13 z+6=0
$$
Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
z=\frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{12} \\
z=\frac{13 \pm 5}{12} \\
z=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}, \quad z=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}
\end{gathered}
$$ 2. Підставимо:
- Якщо $z=\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$, то:
- Якщо $z=\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$, то: $$
x=\frac{3}{2} y
$$
3 рівняння $x-y=1$ : $$
\begin{gathered}
\frac{3}{2} y-y=1 \\
\frac{y}{2}=1 \\
y=2, \quad x=3
\end{gathered}
$$ - Якщо $z=\frac{2}{3}$ : $$
x=\frac{2}{3} y
$$
3 рівняння: $$
\begin{gathered}
\frac{2}{3} y-y=1, \\
-\frac{y}{3}=1 \\
y=-3, \quad x=-2 .
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
(3,2),(-2,-3)
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
(x+y)^2-2(x+y)+1=0 \\
(x-y)^2+3(x-y)-4=0
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Позначимо $u=x+y$ та $v=x-y$. Тоді система спрощується до: $$
\left\{\begin{array}{l}
u^2-2 u+1=0 \\
v^2+3 v-4=0
\end{array}\right.
$$ 2. Розв'яжемо перше рівняння: $$
u^2-2 u+1=(u-1)^2=0 \Longrightarrow u=1
$$ 3. Розв'яжемо друге рівняння: $$
v^2+3 v-4=0 \Longrightarrow(v+4)(v-1)=0 \Longrightarrow v=-4 \text { або } v=1
$$ 4. Зворотне заміщення:
- Якщо $u=1, v=-4$, то: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=1 \\
x-y=-4
\end{array}\right.
$$
Додаємо та віднімаємо рівняння: $$
x=-\frac{3}{2}, y=\frac{5}{2}
$$ - Якщо $u=1, v=1$, то: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=1 \\
x-y=1
\end{array}\right.
$$
Додаємо та віднімаємо рівняння: $$
x=1, y=0
$$
Відповідь: $$
(x, y)=\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right),(1,0)
$$
Розгляньмо систему: $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x-2 y}{x+y}-\frac{x+y}{x-2 y}=\frac{15}{4} \\
4 x+5 y=3
\end{array}\right.
$$ 1. Із другої рівності легко виразити $x$ : $$
4 x+5 y=3 \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{3-5 y}{4}
$$ 2. Підставимо цей вираз у перше рівняння. Спочатку перетворимо ліву частину першого рівняння в одну дробову вираз: $$
\frac{x-2 y}{x+y}-\frac{x+y}{x-2 y}=\frac{(x-2 y)^2-(x+y)^2}{(x+y)(x-2 y)}
$$
Розкриваємо дужки: $$
(x-2 y)^2=x^2-4 x y+4 y^2, \quad(x+y)^2=x^2+2 x y+y^2 .
$$
Тоді різниця: $$
(x-2 y)^2-(x+y)^2=\left(x^2-4 x y+4 y^2\right)-\left(x^2+2 x y+y^2\right)=-6 x y+3 y^2=3 y(-2 x+y)
$$
Отже, $$
\frac{x-2 y}{x+y}-\frac{x+y}{x-2 y}=\frac{3 y(-2 x+y)}{(x+y)(x-2 y)}
$$
За умовою задачі це дорівнює $\frac{15}{4}$, тобто $$
\frac{3 y(-2 x+y)}{(x+y)(x-2 y)}=\frac{15}{4}
$$
Помножимо обидві частини на $4(x+y)(x-2 y)$ : $$
12 y(-2 x+y)=15(x+y)(x-2 y)
$$
Розкриваючи дужки, дістанемо квадратне рівняння, куди потім підставимо $x=\frac{3-5 y}{4}$. Після впорядкування й спрощення воно зводиться до: $$
53 y^2+38 y-15=0
$$
Розв'язуємо це рівняння за формулою: $$
y=\frac{-38 \pm \sqrt{38^2-4 \cdot 53 \cdot(-15)}}{2 \cdot 53}
$$
Обчислення дають два корені: $$
y=-1 \quad \text { або } \quad y=\frac{15}{53}
$$ 3. Знайдемо відповідні $x$ з формули $x=\frac{3-5 y}{4}$ :
- Якщо $y=-1$, тоді $$
x=\frac{3-5(-1)}{4}=\frac{3+5}{4}=2
$$ - Якщо $y=\frac{15}{53}$, тоді $$
x=\frac{3-5 \cdot \frac{15}{53}}{4}=\frac{3-\frac{75}{53}}{4}=\frac{\frac{159}{53}-\frac{75}{53}}{4}=\frac{84}{53} \frac{1}{4}=\frac{21}{53}
$$ 4. Перевіряємо, що ці пари $(x, y)$ задовольняють другу умову $4 x+5 y=3$ і не обнуляють знаменники $x+y$ та $x-2 y$ у першому рівнянні. Усе в порядку, тож маємо два розв'язки: $$
(x, y)=(2,-1) \quad \text { аб० } \quad\left(\frac{21}{53}, \frac{15}{53}\right) .
$$
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь: Система 1 $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y+x y=5 \\
x y(x+y)=6
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Позначимо: $$
S=x+y, \quad P=x y
$$
Тоді рівняння перетворюються: $$
\begin{gathered}
S+P=5 \\
P \cdot S=6
\end{gathered}
$$ 2. 3 першого рівняння: $$
P=5-S
$$
Підставимо в друге: $$
\begin{gathered}
(5-S) S=6 \\
5 S-S^2=6 \\
S^2-5 S+6=0
\end{gathered}
$$ 3. Знайдемо корені: $$
\begin{gathered}
S=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} \\
S=\frac{5 \pm 1}{2}
\end{gathered}
$$
$$
S=3 \quad \text { або } \quad S=2
$$ 4. Обчислимо $P$ :
- Якщо $S=3$ : $$
P=5-3=2
$$ - Якщо $S=2$ : $$
P=5-2=3
$$ 5. Розв'яжемо квадратні рівняння:
- Для $S=3, P=2$ : $$
\begin{gathered}
t^2-3 t+2=0 \\
t=1,2
\end{gathered}
$$ - Для $S=2, P=3$ : $$
t^2-2 t+3=0
$$
Це рівняння не має дійсних коренів.
Відповідь: $$
(1,2),(2,1)
$$
Система 2 $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6} \\
x-y=1
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Перше рівняння: Позначимо $z=\frac{x}{y}$.
Тоді: $$
z+\frac{1}{z}=\frac{13}{6}
$$
Помножимо на 6z: $$
6 z^2-13 z+6=0
$$
Розв'язуємо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
z=\frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{12} \\
z=\frac{13 \pm 5}{12} \\
z=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}, \quad z=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}
\end{gathered}
$$ 2. Підставимо:
- Якщо $z=\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$, то:
- Якщо $z=\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$, то: $$
x=\frac{3}{2} y
$$
3 рівняння $x-y=1$ : $$
\begin{gathered}
\frac{3}{2} y-y=1 \\
\frac{y}{2}=1 \\
y=2, \quad x=3
\end{gathered}
$$ - Якщо $z=\frac{2}{3}$ : $$
x=\frac{2}{3} y
$$
3 рівняння: $$
\begin{gathered}
\frac{2}{3} y-y=1, \\
-\frac{y}{3}=1 \\
y=-3, \quad x=-2 .
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
(3,2),(-2,-3)
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
(x+y)^2-2(x+y)+1=0 \\
(x-y)^2+3(x-y)-4=0
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Позначимо $u=x+y$ та $v=x-y$. Тоді система спрощується до: $$
\left\{\begin{array}{l}
u^2-2 u+1=0 \\
v^2+3 v-4=0
\end{array}\right.
$$ 2. Розв'яжемо перше рівняння: $$
u^2-2 u+1=(u-1)^2=0 \Longrightarrow u=1
$$ 3. Розв'яжемо друге рівняння: $$
v^2+3 v-4=0 \Longrightarrow(v+4)(v-1)=0 \Longrightarrow v=-4 \text { або } v=1
$$ 4. Зворотне заміщення:
- Якщо $u=1, v=-4$, то: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=1 \\
x-y=-4
\end{array}\right.
$$
Додаємо та віднімаємо рівняння: $$
x=-\frac{3}{2}, y=\frac{5}{2}
$$ - Якщо $u=1, v=1$, то: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=1 \\
x-y=1
\end{array}\right.
$$
Додаємо та віднімаємо рівняння: $$
x=1, y=0
$$
Відповідь: $$
(x, y)=\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right),(1,0)
$$
Розгляньмо систему: $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x-2 y}{x+y}-\frac{x+y}{x-2 y}=\frac{15}{4} \\
4 x+5 y=3
\end{array}\right.
$$ 1. Із другої рівності легко виразити $x$ : $$
4 x+5 y=3 \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{3-5 y}{4}
$$ 2. Підставимо цей вираз у перше рівняння. Спочатку перетворимо ліву частину першого рівняння в одну дробову вираз: $$
\frac{x-2 y}{x+y}-\frac{x+y}{x-2 y}=\frac{(x-2 y)^2-(x+y)^2}{(x+y)(x-2 y)}
$$
Розкриваємо дужки: $$
(x-2 y)^2=x^2-4 x y+4 y^2, \quad(x+y)^2=x^2+2 x y+y^2 .
$$
Тоді різниця: $$
(x-2 y)^2-(x+y)^2=\left(x^2-4 x y+4 y^2\right)-\left(x^2+2 x y+y^2\right)=-6 x y+3 y^2=3 y(-2 x+y)
$$
Отже, $$
\frac{x-2 y}{x+y}-\frac{x+y}{x-2 y}=\frac{3 y(-2 x+y)}{(x+y)(x-2 y)}
$$
За умовою задачі це дорівнює $\frac{15}{4}$, тобто $$
\frac{3 y(-2 x+y)}{(x+y)(x-2 y)}=\frac{15}{4}
$$
Помножимо обидві частини на $4(x+y)(x-2 y)$ : $$
12 y(-2 x+y)=15(x+y)(x-2 y)
$$
Розкриваючи дужки, дістанемо квадратне рівняння, куди потім підставимо $x=\frac{3-5 y}{4}$. Після впорядкування й спрощення воно зводиться до: $$
53 y^2+38 y-15=0
$$
Розв'язуємо це рівняння за формулою: $$
y=\frac{-38 \pm \sqrt{38^2-4 \cdot 53 \cdot(-15)}}{2 \cdot 53}
$$
Обчислення дають два корені: $$
y=-1 \quad \text { або } \quad y=\frac{15}{53}
$$ 3. Знайдемо відповідні $x$ з формули $x=\frac{3-5 y}{4}$ :
- Якщо $y=-1$, тоді $$
x=\frac{3-5(-1)}{4}=\frac{3+5}{4}=2
$$ - Якщо $y=\frac{15}{53}$, тоді $$
x=\frac{3-5 \cdot \frac{15}{53}}{4}=\frac{3-\frac{75}{53}}{4}=\frac{\frac{159}{53}-\frac{75}{53}}{4}=\frac{84}{53} \frac{1}{4}=\frac{21}{53}
$$ 4. Перевіряємо, що ці пари $(x, y)$ задовольняють другу умову $4 x+5 y=3$ і не обнуляють знаменники $x+y$ та $x-2 y$ у першому рівнянні. Усе в порядку, тож маємо два розв'язки: $$
(x, y)=(2,-1) \quad \text { аб० } \quad\left(\frac{21}{53}, \frac{15}{53}\right) .
$$
