Вправа 546 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №546
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:

Система 1

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{5}{6} \\ x+y=5 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Позначимо $z=\frac{x}{y}$. Тоді:

$$z-\frac{1}{z}=\frac{5}{6}$$


Помножимо на $6 z$ :

$$6 z^2-5 z-6=0$$


Розв'яжемо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} z=\frac{5 \pm \sqrt{25+144}}{12} \\ z=\frac{5 \pm \sqrt{169}}{12} \\ z=\frac{5 \pm 13}{12} \\ z=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}, \quad z=\frac{-8}{12}=-\frac{2}{3} \end{gathered}$$

2. Підставимо:
- Якщо $z=\frac{3}{2}$ :
$$\frac{x}{y}=\frac{3}{2} \Rightarrow x=\frac{3}{2} y$$


3 рівняння $x+y=5$ :

$$\begin{gathered} \frac{3}{2} y+y=5 \\ \frac{5 y}{2}=5 \\ y=2, \quad x=3 . \end{gathered}$$

- Якщо $z=-\frac{2}{3}$ :

$$\begin{gathered} \frac{x}{y}=-\frac{2}{3} \Rightarrow x=-\frac{2}{3} y \\ -\frac{2}{3} y+y=5 \\ \frac{y}{3}=5 \\ y=15, \quad x=-10 \end{gathered}$$


Відповідь:

$$(3,2),(-10,15)$$
Система 2

$$\left\{\begin{array}{l} (x-y)^2+4(x-y)+4=0 \\ (x+y)^2-2(x+y)-3=0 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Позначимо:

$$u=x-y, \quad v=x+y$$


Рівняння для $u$ :

$$\begin{gathered} u^2+4 u+4=0 \\ (u+2)^2=0 \\ u=-2 \end{gathered}$$


Рівняння для $v$ :

$$\begin{gathered} v^2-2 v-3=0 \\ v=\frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} \\ v=\frac{2 \pm 4}{2} \\ v=3 \quad \text { або } \quad v=-1 \end{gathered}$$
2. Знайдемо $x$ і $y$ :
- Для $u=-2, v=3$ :

$$x-y=-2, \quad x+y=3$$


Складаємо і віднімаємо:

$$\begin{aligned} & 2 x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ & 2 y=5 \Rightarrow y=\frac{5}{2} \end{aligned}$$

- Для $u=-2, v=-1$ :

$$x-y=-2, \quad x+y=-1$$


Складаємо і віднімаємо:

$$\begin{gathered} 2 x=-3 \Rightarrow x=-\frac{3}{2} \\ 2 y=1 \Rightarrow y=\frac{1}{2} \end{gathered}$$


Відповідь:

$$\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right),\left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$$