Вправа 546 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №546
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь: Система 1 $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{5}{6} \\
x+y=5
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Позначимо $z=\frac{x}{y}$. Тоді: $$
z-\frac{1}{z}=\frac{5}{6}
$$
Помножимо на $6 z$ : $$
6 z^2-5 z-6=0
$$
Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
z=\frac{5 \pm \sqrt{25+144}}{12} \\
z=\frac{5 \pm \sqrt{169}}{12} \\
z=\frac{5 \pm 13}{12} \\
z=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}, \quad z=\frac{-8}{12}=-\frac{2}{3}
\end{gathered}
$$ 2. Підставимо:
- Якщо $z=\frac{3}{2}$ :
$$
\frac{x}{y}=\frac{3}{2} \Rightarrow x=\frac{3}{2} y
$$
3 рівняння $x+y=5$ : $$
\begin{gathered}
\frac{3}{2} y+y=5 \\
\frac{5 y}{2}=5 \\
y=2, \quad x=3 .
\end{gathered}
$$ - Якщо $z=-\frac{2}{3}$ : $$
\begin{gathered}
\frac{x}{y}=-\frac{2}{3} \Rightarrow x=-\frac{2}{3} y \\
-\frac{2}{3} y+y=5 \\
\frac{y}{3}=5 \\
y=15, \quad x=-10
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
(3,2),(-10,15)
$$
Система 2 $$
\left\{\begin{array}{l}
(x-y)^2+4(x-y)+4=0 \\
(x+y)^2-2(x+y)-3=0
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Позначимо: $$
u=x-y, \quad v=x+y
$$
Рівняння для $u$ : $$
\begin{gathered}
u^2+4 u+4=0 \\
(u+2)^2=0 \\
u=-2
\end{gathered}
$$
Рівняння для $v$ : $$
\begin{gathered}
v^2-2 v-3=0 \\
v=\frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} \\
v=\frac{2 \pm 4}{2} \\
v=3 \quad \text { або } \quad v=-1
\end{gathered}
$$
2. Знайдемо $x$ і $y$ :
- Для $u=-2, v=3$ : $$
x-y=-2, \quad x+y=3
$$
Складаємо і віднімаємо: $$
\begin{aligned}
& 2 x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\
& 2 y=5 \Rightarrow y=\frac{5}{2}
\end{aligned}
$$ - Для $u=-2, v=-1$ : $$
x-y=-2, \quad x+y=-1
$$
Складаємо і віднімаємо: $$
\begin{gathered}
2 x=-3 \Rightarrow x=-\frac{3}{2} \\
2 y=1 \Rightarrow y=\frac{1}{2}
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right),\left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)
$$