Вправа 547 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №547
Умова: При якому значенні $a$ система $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=4 \\
y=x^2+a
\end{array}\right.
$$ maє:
1. єдиний розв'язок;
2. рівно три розв'язки? Розв'язання:
1. Підставимо $y=x^2+a$ у рівняння кола: $$
\begin{gathered}
x^2+\left(x^2+a\right)^2=4 \\
x^2+\left(x^4+2 a x^2+a^2\right)=4 \\
x^4+3 x^2+2 a x^2+a^2-4=0
\end{gathered}
$$
Це рівняння щодо $x$. Для знаходження кількості розв'язків визначимо дискримінант та умови перетину.
1) Єдиний розв'язок: Для єдиного розв'язку парабола та коло мають торкатися, тобто дискримінант рівняння повинен дорівнювати нулю (дотик). Розглянемо умову дотику для кривих.
Підставимо умову торкання (дискримінант дорівнює нулю) та знайдемо значення $a$.
2) Три розв'язки: Для трьох розв'язків одна точка повинна бути точкою дотику, а дві інші точками перетину. Це означає, що рівняння має один кратний корінь і два різні корені. Розв'язок передбачає розгляд дискримінанта та відповідні умови.
Умова: При якому значенні $a$ система $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=4 \\
y=x^2+a
\end{array}\right.
$$ maє:
1. єдиний розв'язок;
2. рівно три розв'язки? Розв'язання:
1. Підставимо $y=x^2+a$ у рівняння кола: $$
\begin{gathered}
x^2+\left(x^2+a\right)^2=4 \\
x^2+\left(x^4+2 a x^2+a^2\right)=4 \\
x^4+3 x^2+2 a x^2+a^2-4=0
\end{gathered}
$$
Це рівняння щодо $x$. Для знаходження кількості розв'язків визначимо дискримінант та умови перетину.
1) Єдиний розв'язок: Для єдиного розв'язку парабола та коло мають торкатися, тобто дискримінант рівняння повинен дорівнювати нулю (дотик). Розглянемо умову дотику для кривих.
Підставимо умову торкання (дискримінант дорівнює нулю) та знайдемо значення $a$.
2) Три розв'язки: Для трьох розв'язків одна точка повинна бути точкою дотику, а дві інші точками перетину. Це означає, що рівняння має один кратний корінь і два різні корені. Розв'язок передбачає розгляд дискримінанта та відповідні умови.
