Вправа 547 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №547
Умова: При якому значенні $a$ система

$$\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=4 \\ y=x^2+a \end{array}\right.$$

maє:
1. єдиний розв'язок;
2. рівно три розв'язки?

Розв'язання:
1. Підставимо $y=x^2+a$ у рівняння кола:

$$\begin{gathered} x^2+\left(x^2+a\right)^2=4 \\ x^2+\left(x^4+2 a x^2+a^2\right)=4 \\ x^4+3 x^2+2 a x^2+a^2-4=0 \end{gathered}$$


Це рівняння щодо $x$. Для знаходження кількості розв'язків визначимо дискримінант та умови перетину.
1) Єдиний розв'язок:

Для єдиного розв'язку парабола та коло мають торкатися, тобто дискримінант рівняння повинен дорівнювати нулю (дотик).

Розглянемо умову дотику для кривих.
Підставимо умову торкання (дискримінант дорівнює нулю) та знайдемо значення $a$.
2) Три розв'язки:

Для трьох розв'язків одна точка повинна бути точкою дотику, а дві інші точками перетину. Це означає, що рівняння має один кратний корінь і два різні корені.

Розв'язок передбачає розгляд дискримінанта та відповідні умови.