Вправа 553 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №553.
Умова:
Нехай $a, b, c$ - додатні числа. Доведемо, що: $$
\frac{a+b}{a^2+b^2}+\frac{b+c}{b^2+c^2}+\frac{a+c}{a^2+c^2} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}
$$
Розв'язання:
Розглянемо одну із дробових нерівностей, наприклад: $$
\frac{a+b}{a^2+b^2} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}
$$ 1. Доведення нерівності для одного члена: Перетворимо нерівність: $$
\frac{a+b}{a^2+b^2} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}
$$
Домножимо обидві частини на $a^2+b^2$ : $$
a+b \leq \frac{a^2+b^2}{a}+\frac{a^2+b^2}{b}
$$
Спрощуємо праву частину: $$
a+b \leq a+\frac{b^2}{a}+b+\frac{a^2}{b}
$$
Спростимо: $$
0 \leq \frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}
$$
Це вірно за нерівністю Коші-Шварца: $$
x^2+y^2 \geq 2 x y
$$
що доводить нерівність.
2. Підсумок: Оскільки аналогічне доведення справедливе для всіх членів нерівності, можемо підсумувати: $$
\frac{a+b}{a^2+b^2}+\frac{b+c}{b^2+c^2}+\frac{a+c}{a^2+c^2} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}
$$ Відповідь: Нерівність доведено.