Вправа 553 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №553.
Умова:
Нехай $a, b, c$ - додатні числа. Доведемо, що:

$$\frac{a+b}{a^2+b^2}+\frac{b+c}{b^2+c^2}+\frac{a+c}{a^2+c^2} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$


Розв'язання:
Розглянемо одну із дробових нерівностей, наприклад:

$$\frac{a+b}{a^2+b^2} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$

1. Доведення нерівності для одного члена:

Перетворимо нерівність:

$$\frac{a+b}{a^2+b^2} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$


Домножимо обидві частини на $a^2+b^2$ :

$$a+b \leq \frac{a^2+b^2}{a}+\frac{a^2+b^2}{b}$$


Спрощуємо праву частину:

$$a+b \leq a+\frac{b^2}{a}+b+\frac{a^2}{b}$$


Спростимо:

$$0 \leq \frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$$


Це вірно за нерівністю Коші-Шварца:

$$x^2+y^2 \geq 2 x y$$


що доводить нерівність.
2. Підсумок:

Оскільки аналогічне доведення справедливе для всіх членів нерівності, можемо підсумувати:

$$\frac{a+b}{a^2+b^2}+\frac{b+c}{b^2+c^2}+\frac{a+c}{a^2+c^2} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

Відповідь: Нерівність доведено.