Вправа 561 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №561.
Умова:
Сума катетів прямокутного трикутника дорівнює 17 см. Знайдіть катети, якщо гіпотенуза трикутника дорівнює 13 см.

Розв'язання:
Позначимо катети як $a$ і $b$.
1. Запишемо систему рівнянь:

$$\begin{gathered} a+b=17 \\ a^2+b^2=13^2=169 \end{gathered}$$

2. 3 першого рівняння виразимо $b$ :

$$b=17-a$$


Підставимо у друге рівняння:

$$a^2+(17-a)^2=169$$


Розкриємо дужки:

$$\begin{gathered} a^2+\left(289-34 a+a^2\right)=169 \\ 2 a^2-34 a+289=169 \\ 2 a^2-34 a+120=0 \end{gathered}$$

3. Спрощуємо рівняння:

Поділимо на 2:

$$a^2-17 a+60=0$$


Знайдемо дискримінант:

$$\begin{gathered} D=(-17)^2-4(1)(60) \\ D=289-240=49 \end{gathered}$$
Знайдемо корені:

$$\begin{gathered} a=\frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} \\ a=\frac{17 \pm 7}{2} \\ a_1=\frac{24}{2}=12, \quad a_2=\frac{10}{2}=5 \end{gathered}$$

4. Відповідні $b$ :

Якщо $a=12$ :

$$b=17-12=5$$


Якщо $a=5$ :

$$b=17-5=12$$


Відповідь:
Катети трикутника  12 см і 5 см.