Вправа 562 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №562.
Умова:
Периметр прямокутного трикутника дорівнює 24 cm . Знайдіть катети цього трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 10 cm .
Розв'язання:
Позначимо катети трикутника як $a$ і $b$.
1. За умовою:
- Периметр:

$$\begin{aligned} & a+b+10=24 \\ & a+b=14 \end{aligned}$$

- Теорема Піфагора:

$$\begin{gathered} a^2+b^2=10^2 \\ a^2+b^2=100 \end{gathered}$$

2. Піднесемо рівняння (1) до квадрата:

$$\begin{gathered} (a+b)^2=14^2 \\ a^2+2 a b+b^2=196 \end{gathered}$$


Підставимо $a^2+b^2=100$ :

$$\begin{gathered} 100+2 a b=196 \\ 2 a b=96 \\ a b=48 \end{gathered}$$
3. Розв'яжемо квадратне рівняння:

3 рівнянь:

$$\begin{gathered} t^2-(a+b) t+a b=0 \\ t^2-14 t+48=0 \end{gathered}$$


Дискримінант:

$$\begin{gathered} D=(-14)^2-4(1)(48) \\ D=196-192=4 \end{gathered}$$


Корені:

$$\begin{gathered} t=\frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} \\ t=\frac{14 \pm 2}{2} \\ t_1=\frac{16}{2}=8, \quad t_2=\frac{12}{2}=6 \end{gathered}$$


Відповідь:
Катети трикутника  8 см і 6 см.