Вправа 564 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №564
Умова:
Різниця двох чисел дорівнює 3, а сума обернених до них чисел дорівнює 0,5 . Знайдіть ці числа.

Розв'язання:
Позначимо ці числа через $x$ та $y$. Згідно з умовою задачі, отримуємо систему рівнянь:

$$\left\{\begin{array}{l} x-y=3 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0.5 \end{array}\right.$$

1. Перетворимо друге рівняння:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0.5 \Longrightarrow \frac{x+y}{x y}=0.5 \Longrightarrow x+y=0.5 x y$$

2. Підставимо $y=x-3$ (з першого рівняння) у друге рівняння:

$$x+(x-3)=0.5 x(x-3)$$

3. Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

$$2 x-3=0.5 x^2-1.5 x$$

4. Перенесемо всі члени в одну сторону:

$$0.5 x^2-3.5 x+3=0$$

5. Помножимо рівняння на 2, щоб позбутися дробів:

$$x^2-7 x+6=0$$

6. Розв'яжемо квадратне рівняння:

$$x^2-7 x+6=0 \Longrightarrow(x-6)(x-1)=0$$


Отже, $x=6$ або $x=1$.
7. Знайдемо відповідні значення $y$ :

Якщо $x=6$, то $y=x-3=6-3=3$.
Якщо $x=1$, то $y=x-3=1-3=-2$.

Відповідь:
Пари чисел: $(6 ; 3)$ або $(1 ;-2)$.