Вправа 569 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №569.
Умова:
Маємо два шматки кабелю різних видів. Маса першого шматка дорівнює 65 кг; другий, довжина якого на 3 м більша за перший і маса кожного метра якого на 2 кг більша за масу кожного метра першого шматка, має масу 120 кг. Знайдіть довжини цих шматків.

Розв'язання:
Позначимо:
- $\quad x$ - довжина першого шматка (м).
- $\quad y$ - маса 1 м першого шматка (кг).
1. Запишемо рівняння для першого шматка:

$$x y=65$$

2. Запишемо рівняння для другого шматка:
- Довжина: $x+3$.
- Maca 1 м: $y+2$.

$$(x+3)(y+2)=120$$

3. Підставимо $y=\frac{65}{x}$ у друге рівняння:

$$(x+3)\left(\frac{65}{x}+2\right)=120$$


Розкриємо дужки:

$$\begin{aligned} (x+3)\left(\frac{65+2 x}{x}\right) & =120 \\ \frac{(x+3)(65+2 x)}{x} & =120 \end{aligned}$$
Помножимо на $x$ :

$$\begin{gathered} (x+3)(65+2 x)=120 x \\ 65 x+195+2 x^2+6 x=120 x \\ 2 x^2-49 x+195=0 \end{gathered}$$

4. Розв'яжемо квадратне рівняння:

Дискримінант:

$$\begin{gathered} D=(-49)^2-4(2)(195) \\ D=2401-1560=841 \\ x=\frac{49 \pm \sqrt{841}}{2(2)} \\ x=\frac{49 \pm 29}{4} \\ x_1=\frac{78}{4}=19.5 \quad \text { (не підходить, бо довжина ціла) } \\ x_2=\frac{20}{4}=5 \end{gathered}$$

5. Знайдемо $y$ :

$$y=\frac{65}{5}=13$$

6. Перевіримо для другого шматка:
- Довжина: $5+3=8$.
- Maca 1 м: $13+2=15$.

$$8 \cdot 15=120$$


Все правильно.

Відповідь:
Довжина першого шматка  5 м, другого  8 м.