До змісту

Вправа 571 алгебра Істер гдз 9 клас

ГДЗ 9 клас алгебра Істер
Задача №571
умова:
Два автомобілі виїхали одночасно зз міст AA і BB назустріч один одному і зустрілися через годину. Після цього вони, не зупиняючись, продовжили рухатися з тією самою швидкістю. Один із них прибув у місто BB на 35 хвилин пізніше, ніж другий у місто AA. Знайдіть швидкість кожного з автомобілів, якщо відстань між містами 140 км.

Розв'язання:
Позначимо швидкості автомобілів через v1v_1 (швидкість автомобіля, що рухається зз міста AA ) та v2v_2 (швидкість автомобіля, що рухається з міста BB ).
1. Встановимо систему рівнянь:
- Оскільки автомобілі зустрілися через годину, їхні швидкості сумарно покрили 140 км за цей час:

v1+v2=140 v_1+v_2=140

- Відстань, яку залишається подолати після зустрічі:
- Для автомобіля A:140−v1A: 140-v_1.
- Для автомобіля B:140−v2B: 140-v_2.

Час на подолання цих залишків шляху:

140−v1v1 та 140−v2v2 \frac{140-v_1}{v_1} \text { та } \frac{140-v_2}{v_2}


За умовою, різниця між цими часами становить 35 хвилин ( 3560=712\frac{35}{60}=\frac{7}{12} годин):

140−v1v1−140−v2v2=712 \frac{140-v_1}{v_1}-\frac{140-v_2}{v_2}=\frac{7}{12}

2. Система рівнянь:

{v1+v2=140140−v1v1−140−v2v2=712 \left\{\begin{array}{l} v_1+v_2=140 \\ \frac{140-v_1}{v_1}-\frac{140-v_2}{v_2}=\frac{7}{12} \end{array}\right.
3. Розв'язання системи:
- 3 першого рівняння:

v2=140−v1 v_2=140-v_1

- Підставимо v2=140−v1v_2=140-v_1 у друге рівняння:

140−v1v1−140−(140−v1)140−v1=712 \frac{140-v_1}{v_1}-\frac{140-\left(140-v_1\right)}{140-v_1}=\frac{7}{12}

- Спростимо:

140−v1v1−v1140−v1=712 \frac{140-v_1}{v_1}-\frac{v_1}{140-v_1}=\frac{7}{12}

- Зведемо до спільного знаменника:

(140−v1)2−v12v1(140−v1)=71219600−280v1v1(140−v1)=712 \begin{aligned} & \frac{\left(140-v_1\right)^2-v_1^2}{v_1\left(140-v_1\right)}=\frac{7}{12} \\ & \frac{19600-280 v_1}{v_1\left(140-v_1\right)}=\frac{7}{12} \end{aligned}

- Помножимо на 12v1(140−v1)12 v_1\left(140-v_1\right) :

12(19600−280v1)=7v1(140−v1)235200−3360v1=980v1−7v127v12−4340v1+235200=0 \begin{gathered} 12\left(19600-280 v_1\right)=7 v_1\left(140-v_1\right) \\ 235200-3360 v_1=980 v_1-7 v_1^2 \\ 7 v_1^2-4340 v_1+235200=0 \end{gathered}

- Поділимо на 7:

v12−620v1+33600=0 v_1^2-620 v_1+33600=0

- Розв'яжемо квадратне рівняння:

v1=620±6202−4⋅1⋅336002v1=620±384400−1344002v1=620±2500002v1=620±5002v1=560 або v1=60 \begin{gathered} v_1=\frac{620 \pm \sqrt{620^2-4 \cdot 1 \cdot 33600}}{2} \\ v_1=\frac{620 \pm \sqrt{384400-134400}}{2} \\ v_1=\frac{620 \pm \sqrt{250000}}{2} \\ v_1=\frac{620 \pm 500}{2} \\ v_1=560 \quad \text { або } \quad v_1=60 \end{gathered}

- Якщо v1=60v_1=60, то v2=140−60=80v_2=140-60=80.

Відповідь:
Швидкість автомобілів:

v1=60 км/ год, v2=80 км/ год.  v_1=60  \text {км/ год, } v_2=80   \text {км/ год. }