Вправа 571 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №571
умова:
Два автомобілі виїхали одночасно $з$ міст $A$ і $B$ назустріч один одному і зустрілися через годину. Після цього вони, не зупиняючись, продовжили рухатися з тією самою швидкістю. Один із них прибув у місто $B$ на 35 хвилин пізніше, ніж другий у місто $A$. Знайдіть швидкість кожного з автомобілів, якщо відстань між містами 140 км. Розв'язання:
Позначимо швидкості автомобілів через $v_1$ (швидкість автомобіля, що рухається $з$ міста $A$ ) та $v_2$ (швидкість автомобіля, що рухається з міста $B$ ).
1. Встановимо систему рівнянь:
- Оскільки автомобілі зустрілися через годину, їхні швидкості сумарно покрили 140 км за цей час: $$
v_1+v_2=140
$$ - Відстань, яку залишається подолати після зустрічі:
- Для автомобіля $A: 140-v_1$.
- Для автомобіля $B: 140-v_2$. Час на подолання цих залишків шляху: $$
\frac{140-v_1}{v_1} \text { та } \frac{140-v_2}{v_2}
$$
За умовою, різниця між цими часами становить 35 хвилин ( $\frac{35}{60}=\frac{7}{12}$ годин): $$
\frac{140-v_1}{v_1}-\frac{140-v_2}{v_2}=\frac{7}{12}
$$ 2. Система рівнянь: $$
\left\{\begin{array}{l}
v_1+v_2=140 \\
\frac{140-v_1}{v_1}-\frac{140-v_2}{v_2}=\frac{7}{12}
\end{array}\right.
$$
3. Розв'язання системи:
- 3 першого рівняння: $$
v_2=140-v_1
$$ - Підставимо $v_2=140-v_1$ у друге рівняння: $$
\frac{140-v_1}{v_1}-\frac{140-\left(140-v_1\right)}{140-v_1}=\frac{7}{12}
$$ - Спростимо: $$
\frac{140-v_1}{v_1}-\frac{v_1}{140-v_1}=\frac{7}{12}
$$ - Зведемо до спільного знаменника: $$
\begin{aligned}
& \frac{\left(140-v_1\right)^2-v_1^2}{v_1\left(140-v_1\right)}=\frac{7}{12} \\
& \frac{19600-280 v_1}{v_1\left(140-v_1\right)}=\frac{7}{12}
\end{aligned}
$$ - Помножимо на $12 v_1\left(140-v_1\right)$ : $$
\begin{gathered}
12\left(19600-280 v_1\right)=7 v_1\left(140-v_1\right) \\
235200-3360 v_1=980 v_1-7 v_1^2 \\
7 v_1^2-4340 v_1+235200=0
\end{gathered}
$$ - Поділимо на 7: $$
v_1^2-620 v_1+33600=0
$$ - Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
v_1=\frac{620 \pm \sqrt{620^2-4 \cdot 1 \cdot 33600}}{2} \\
v_1=\frac{620 \pm \sqrt{384400-134400}}{2} \\
v_1=\frac{620 \pm \sqrt{250000}}{2} \\
v_1=\frac{620 \pm 500}{2} \\
v_1=560 \quad \text { або } \quad v_1=60
\end{gathered}
$$ - Якщо $v_1=60$, то $v_2=140-60=80$. Відповідь:
Швидкість автомобілів: $$
v_1=60 \text {км/ год, } v_2=80 \text {км/ год. }
$$
умова:
Два автомобілі виїхали одночасно $з$ міст $A$ і $B$ назустріч один одному і зустрілися через годину. Після цього вони, не зупиняючись, продовжили рухатися з тією самою швидкістю. Один із них прибув у місто $B$ на 35 хвилин пізніше, ніж другий у місто $A$. Знайдіть швидкість кожного з автомобілів, якщо відстань між містами 140 км. Розв'язання:
Позначимо швидкості автомобілів через $v_1$ (швидкість автомобіля, що рухається $з$ міста $A$ ) та $v_2$ (швидкість автомобіля, що рухається з міста $B$ ).
1. Встановимо систему рівнянь:
- Оскільки автомобілі зустрілися через годину, їхні швидкості сумарно покрили 140 км за цей час: $$
v_1+v_2=140
$$ - Відстань, яку залишається подолати після зустрічі:
- Для автомобіля $A: 140-v_1$.
- Для автомобіля $B: 140-v_2$. Час на подолання цих залишків шляху: $$
\frac{140-v_1}{v_1} \text { та } \frac{140-v_2}{v_2}
$$
За умовою, різниця між цими часами становить 35 хвилин ( $\frac{35}{60}=\frac{7}{12}$ годин): $$
\frac{140-v_1}{v_1}-\frac{140-v_2}{v_2}=\frac{7}{12}
$$ 2. Система рівнянь: $$
\left\{\begin{array}{l}
v_1+v_2=140 \\
\frac{140-v_1}{v_1}-\frac{140-v_2}{v_2}=\frac{7}{12}
\end{array}\right.
$$
3. Розв'язання системи:
- 3 першого рівняння: $$
v_2=140-v_1
$$ - Підставимо $v_2=140-v_1$ у друге рівняння: $$
\frac{140-v_1}{v_1}-\frac{140-\left(140-v_1\right)}{140-v_1}=\frac{7}{12}
$$ - Спростимо: $$
\frac{140-v_1}{v_1}-\frac{v_1}{140-v_1}=\frac{7}{12}
$$ - Зведемо до спільного знаменника: $$
\begin{aligned}
& \frac{\left(140-v_1\right)^2-v_1^2}{v_1\left(140-v_1\right)}=\frac{7}{12} \\
& \frac{19600-280 v_1}{v_1\left(140-v_1\right)}=\frac{7}{12}
\end{aligned}
$$ - Помножимо на $12 v_1\left(140-v_1\right)$ : $$
\begin{gathered}
12\left(19600-280 v_1\right)=7 v_1\left(140-v_1\right) \\
235200-3360 v_1=980 v_1-7 v_1^2 \\
7 v_1^2-4340 v_1+235200=0
\end{gathered}
$$ - Поділимо на 7: $$
v_1^2-620 v_1+33600=0
$$ - Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
v_1=\frac{620 \pm \sqrt{620^2-4 \cdot 1 \cdot 33600}}{2} \\
v_1=\frac{620 \pm \sqrt{384400-134400}}{2} \\
v_1=\frac{620 \pm \sqrt{250000}}{2} \\
v_1=\frac{620 \pm 500}{2} \\
v_1=560 \quad \text { або } \quad v_1=60
\end{gathered}
$$ - Якщо $v_1=60$, то $v_2=140-60=80$. Відповідь:
Швидкість автомобілів: $$
v_1=60 \text {км/ год, } v_2=80 \text {км/ год. }
$$
