Вправа 576 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №576
Умова:
Два крани, якщо їх відкрити одночасно, можуть наповнити басейн за 2 години. За скільки годин можна наповнити басейн через кожний кран окремо, якщо через один з них третина басейну наповнюється на 1,5 години повільніше, ніж шоста частина басейну через другий?

Розв'язання:
Позначимо:
- Час, за який перший кран наповнює весь басейн, через $x$ (годин).
- Час, за який другий кран наповнює весь басейн, через $y$ (годин).

Відомо:
1. Разом два крани наповнюють басейн за 2 години, тобто їх сумарна продуктивність:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$$

2. Один кран наповнює третину басейну на 1,5 години повільніше, ніж другий кран наповнює шосту частину басейну:

$$\frac{x}{3}=\frac{y}{6}+1.5$$


Система рівнянь:

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2} \\ \frac{x}{3}=\frac{y}{6}+1.5 \end{array}\right.$$


Розв'язання системи:
1. 3 другого рівняння виразимо $x$ :

$$\frac{x}{3}=\frac{y}{6}+1.5 \Longrightarrow x=\frac{y}{2}+4.5$$

2. Підставимо $x=\frac{y}{2}+4.5$ у перше рівняння:

$$\frac{1}{\frac{y}{2}+4.5}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$$
3. Зведемо до спільного знаменника:

$$\begin{gathered} \frac{y}{y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)}+\frac{\frac{y}{2}+4.5}{y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)}=\frac{1}{2} . \\ \frac{y+\frac{y}{2}+4.5}{y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)}=\frac{1}{2} \\ \frac{\frac{3 y}{2}+4.5}{y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

4. Помножимо обидві частини рівняння на $2 y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)$ :

$$\begin{gathered} 2\left(\frac{3 y}{2}+4.5\right)=y\left(\frac{y}{2}+4.5\right) \\ 3 y+9=\frac{y^2}{2}+4.5 y \end{gathered}$$

5. Помножимо на 2 , щоб позбутися дробів:

$$6 y+18=y^2+9 y$$

6. Перенесемо всі члени в одну сторону:

$$\begin{gathered} y^2+9 y-6 y-18=0 \\ y^2+3 y-18=0 \end{gathered}$$

7. Розв'яжемо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} y=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 1 \cdot(-18)}}{2 \cdot 1} \\ y=\frac{-3 \pm \sqrt{9+72}}{2} \\ y=\frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} \\ y=\frac{-3 \pm 9}{2} \\ y=3 \quad \text { або } \quad y=-6 \end{gathered}$$


Оскільки час не може бути від'ємним, маємо $y=3$.
8. Знайдемо $x$ :

$$x=\frac{y}{2}+4.5=\frac{3}{2}+4.5=1.5+4.5=6$$


Відповідь:
Перший кран наповнює басейн за 6 годин, другий - за 3 години.