Вправа 576 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №576
Умова:
Два крани, якщо їх відкрити одночасно, можуть наповнити басейн за 2 години. За скільки годин можна наповнити басейн через кожний кран окремо, якщо через один з них третина басейну наповнюється на 1,5 години повільніше, ніж шоста частина басейну через другий? Розв'язання:
Позначимо:
- Час, за який перший кран наповнює весь басейн, через $x$ (годин).
- Час, за який другий кран наповнює весь басейн, через $y$ (годин). Відомо:
1. Разом два крани наповнюють басейн за 2 години, тобто їх сумарна продуктивність: $$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}
$$ 2. Один кран наповнює третину басейну на 1,5 години повільніше, ніж другий кран наповнює шосту частину басейну: $$
\frac{x}{3}=\frac{y}{6}+1.5
$$
Система рівнянь: $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2} \\
\frac{x}{3}=\frac{y}{6}+1.5
\end{array}\right.
$$
Розв'язання системи:
1. 3 другого рівняння виразимо $x$ : $$
\frac{x}{3}=\frac{y}{6}+1.5 \Longrightarrow x=\frac{y}{2}+4.5
$$ 2. Підставимо $x=\frac{y}{2}+4.5$ у перше рівняння: $$
\frac{1}{\frac{y}{2}+4.5}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}
$$
3. Зведемо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
\frac{y}{y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)}+\frac{\frac{y}{2}+4.5}{y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)}=\frac{1}{2} . \\
\frac{y+\frac{y}{2}+4.5}{y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)}=\frac{1}{2} \\
\frac{\frac{3 y}{2}+4.5}{y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)}=\frac{1}{2}
\end{gathered}
$$ 4. Помножимо обидві частини рівняння на $2 y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)$ : $$
\begin{gathered}
2\left(\frac{3 y}{2}+4.5\right)=y\left(\frac{y}{2}+4.5\right) \\
3 y+9=\frac{y^2}{2}+4.5 y
\end{gathered}
$$ 5. Помножимо на 2 , щоб позбутися дробів: $$
6 y+18=y^2+9 y
$$ 6. Перенесемо всі члени в одну сторону: $$
\begin{gathered}
y^2+9 y-6 y-18=0 \\
y^2+3 y-18=0
\end{gathered}
$$ 7. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 1 \cdot(-18)}}{2 \cdot 1} \\
y=\frac{-3 \pm \sqrt{9+72}}{2} \\
y=\frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} \\
y=\frac{-3 \pm 9}{2} \\
y=3 \quad \text { або } \quad y=-6
\end{gathered}
$$
Оскільки час не може бути від'ємним, маємо $y=3$.
8. Знайдемо $x$ : $$
x=\frac{y}{2}+4.5=\frac{3}{2}+4.5=1.5+4.5=6
$$
Відповідь:
Перший кран наповнює басейн за 6 годин, другий - за 3 години.
Умова:
Два крани, якщо їх відкрити одночасно, можуть наповнити басейн за 2 години. За скільки годин можна наповнити басейн через кожний кран окремо, якщо через один з них третина басейну наповнюється на 1,5 години повільніше, ніж шоста частина басейну через другий? Розв'язання:
Позначимо:
- Час, за який перший кран наповнює весь басейн, через $x$ (годин).
- Час, за який другий кран наповнює весь басейн, через $y$ (годин). Відомо:
1. Разом два крани наповнюють басейн за 2 години, тобто їх сумарна продуктивність: $$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}
$$ 2. Один кран наповнює третину басейну на 1,5 години повільніше, ніж другий кран наповнює шосту частину басейну: $$
\frac{x}{3}=\frac{y}{6}+1.5
$$
Система рівнянь: $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2} \\
\frac{x}{3}=\frac{y}{6}+1.5
\end{array}\right.
$$
Розв'язання системи:
1. 3 другого рівняння виразимо $x$ : $$
\frac{x}{3}=\frac{y}{6}+1.5 \Longrightarrow x=\frac{y}{2}+4.5
$$ 2. Підставимо $x=\frac{y}{2}+4.5$ у перше рівняння: $$
\frac{1}{\frac{y}{2}+4.5}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}
$$
3. Зведемо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
\frac{y}{y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)}+\frac{\frac{y}{2}+4.5}{y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)}=\frac{1}{2} . \\
\frac{y+\frac{y}{2}+4.5}{y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)}=\frac{1}{2} \\
\frac{\frac{3 y}{2}+4.5}{y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)}=\frac{1}{2}
\end{gathered}
$$ 4. Помножимо обидві частини рівняння на $2 y\left(\frac{y}{2}+4.5\right)$ : $$
\begin{gathered}
2\left(\frac{3 y}{2}+4.5\right)=y\left(\frac{y}{2}+4.5\right) \\
3 y+9=\frac{y^2}{2}+4.5 y
\end{gathered}
$$ 5. Помножимо на 2 , щоб позбутися дробів: $$
6 y+18=y^2+9 y
$$ 6. Перенесемо всі члени в одну сторону: $$
\begin{gathered}
y^2+9 y-6 y-18=0 \\
y^2+3 y-18=0
\end{gathered}
$$ 7. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
y=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 1 \cdot(-18)}}{2 \cdot 1} \\
y=\frac{-3 \pm \sqrt{9+72}}{2} \\
y=\frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} \\
y=\frac{-3 \pm 9}{2} \\
y=3 \quad \text { або } \quad y=-6
\end{gathered}
$$
Оскільки час не може бути від'ємним, маємо $y=3$.
8. Знайдемо $x$ : $$
x=\frac{y}{2}+4.5=\frac{3}{2}+4.5=1.5+4.5=6
$$
Відповідь:
Перший кран наповнює басейн за 6 годин, другий - за 3 години.
