Вправа 578 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №578
Умова:
3 пунктів $A$ і $B$, відстань між якими 10 км, одночасно назустріч один одному вийшли два пішоходи. Через 1 год їм залишилося пройти до зустрічі $1 \mathrm{kм}$. Якби один із пішоходів вийшов на 15 хв раніше, то зустріч відбулася 6 на середині шляху. Знайдіть швидкість кожного пішохода.

Розв'язання:
Позначимо:
- Швидкість пішохода, що вийшов із $A$, через $v_1$ (км $/$ год),
- Швидкість пішохода, що вийшов із $B$, через $v_2$ (км/год).
1. Складемо систему рівнянь:
1. За 1 год вони пройшли $10-1=9 \mathrm{kM}$ :

$$v_1+v_2=9$$

2. За друтою умовою: якби пішохід із $A$ вийшов на $15 \mathrm{xB}=\frac{1}{4}$ год раніше, то вони зустрілися 6 посередині шляху, тобто через 5 km . Тоді час для пішохода з $A$ дорівнює $t_1=\frac{5}{v_1}$, а час для пішохода з $B$ дорівнює $t_2=\frac{5}{v_2}$.
Різниця їхніх часів дорівнює $15 \mathrm{xB}=\frac{1}{4}$ год:

$$\frac{5}{v_1}-\frac{5}{v_2}=\frac{1}{4}$$


Система рівнянь:

$$\left\{\begin{array}{l} v_1+v_2=9 \\ \frac{5}{v_1}-\frac{5}{v_2}=\frac{1}{4} \end{array}\right.$$
2. Розв'яжемо систему рівнянь:
1. 3 першого рівняння:

$$v_2=9-v_1$$

2. Підставимо $v_2=9-v_1$ у друге рівняння:

$$\frac{5}{v_1}-\frac{5}{9-v_1}=\frac{1}{4}$$

3. Зведемо до спільного знаменника:

$$\begin{gathered} \frac{5\left(9-v_1\right)-5 v_1}{v_1\left(9-v_1\right)}=\frac{1}{4} \\ \frac{45-5 v_1-5 v_1}{v_1\left(9-v_1\right)}=\frac{1}{4} \\ \frac{45-10 v_1}{v_1\left(9-v_1\right)}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

4. Помножимо на $4 v_1\left(9-v_1\right)$ :

$$\begin{aligned} 4\left(45-10 v_1\right) & =v_1\left(9-v_1\right) \\ 180-40 v_1 & =9 v_1-v_1^2 \end{aligned}$$

5. Перенесемо всі члени в одну сторону:

$$v_1^2-49 v_1+180=0$$

6. Розв'яжемо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} v_1=\frac{-(-49) \pm \sqrt{(-49)^2-4 \cdot 1 \cdot 180}}{2 \cdot 1} \\ v_1=\frac{49 \pm \sqrt{2401-720}}{2} \\ v_1=\frac{49 \pm \sqrt{1681}}{2} \\ v_1=\frac{49 \pm 41}{2} \\ v_1=45 \quad \text { aбо } \quad v_1=4 \end{gathered}$$

7. Вибираємо розв'язок $v_1=4$ (оскільки $v_1=45$ не відповідає умові задачі). Знайдемо $v_2$ :

$$v_2=9-v_1=9-4=5$$


Відповідь:
Швидкість пішоходів:
- $v_1=4$ км/год
- $v_2=5$ км/год.