Вправа 578 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №578
Умова:
3 пунктів $A$ і $B$, відстань між якими 10 км, одночасно назустріч один одному вийшли два пішоходи. Через 1 год їм залишилося пройти до зустрічі $1 \mathrm{kм}$. Якби один із пішоходів вийшов на 15 хв раніше, то зустріч відбулася 6 на середині шляху. Знайдіть швидкість кожного пішохода. Розв'язання:
Позначимо:
- Швидкість пішохода, що вийшов із $A$, через $v_1$ (км $/$ год),
- Швидкість пішохода, що вийшов із $B$, через $v_2$ (км/год).
1. Складемо систему рівнянь:
1. За 1 год вони пройшли $10-1=9 \mathrm{kM}$ : $$
v_1+v_2=9
$$ 2. За друтою умовою: якби пішохід із $A$ вийшов на $15 \mathrm{xB}=\frac{1}{4}$ год раніше, то вони зустрілися 6 посередині шляху, тобто через 5 km . Тоді час для пішохода з $A$ дорівнює $t_1=\frac{5}{v_1}$, а час для пішохода з $B$ дорівнює $t_2=\frac{5}{v_2}$.
Різниця їхніх часів дорівнює $15 \mathrm{xB}=\frac{1}{4}$ год: $$
\frac{5}{v_1}-\frac{5}{v_2}=\frac{1}{4}
$$
Система рівнянь: $$
\left\{\begin{array}{l}
v_1+v_2=9 \\
\frac{5}{v_1}-\frac{5}{v_2}=\frac{1}{4}
\end{array}\right.
$$
2. Розв'яжемо систему рівнянь:
1. 3 першого рівняння: $$
v_2=9-v_1
$$ 2. Підставимо $v_2=9-v_1$ у друге рівняння: $$
\frac{5}{v_1}-\frac{5}{9-v_1}=\frac{1}{4}
$$ 3. Зведемо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
\frac{5\left(9-v_1\right)-5 v_1}{v_1\left(9-v_1\right)}=\frac{1}{4} \\
\frac{45-5 v_1-5 v_1}{v_1\left(9-v_1\right)}=\frac{1}{4} \\
\frac{45-10 v_1}{v_1\left(9-v_1\right)}=\frac{1}{4}
\end{gathered}
$$ 4. Помножимо на $4 v_1\left(9-v_1\right)$ : $$
\begin{aligned}
4\left(45-10 v_1\right) & =v_1\left(9-v_1\right) \\
180-40 v_1 & =9 v_1-v_1^2
\end{aligned}
$$ 5. Перенесемо всі члени в одну сторону: $$
v_1^2-49 v_1+180=0
$$ 6. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
v_1=\frac{-(-49) \pm \sqrt{(-49)^2-4 \cdot 1 \cdot 180}}{2 \cdot 1} \\
v_1=\frac{49 \pm \sqrt{2401-720}}{2} \\
v_1=\frac{49 \pm \sqrt{1681}}{2} \\
v_1=\frac{49 \pm 41}{2} \\
v_1=45 \quad \text { aбо } \quad v_1=4
\end{gathered}
$$ 7. Вибираємо розв'язок $v_1=4$ (оскільки $v_1=45$ не відповідає умові задачі). Знайдемо $v_2$ : $$
v_2=9-v_1=9-4=5
$$
Відповідь:
Швидкість пішоходів:
- $v_1=4 $ км/год
- $v_2=5 $ км/год.
Умова:
3 пунктів $A$ і $B$, відстань між якими 10 км, одночасно назустріч один одному вийшли два пішоходи. Через 1 год їм залишилося пройти до зустрічі $1 \mathrm{kм}$. Якби один із пішоходів вийшов на 15 хв раніше, то зустріч відбулася 6 на середині шляху. Знайдіть швидкість кожного пішохода. Розв'язання:
Позначимо:
- Швидкість пішохода, що вийшов із $A$, через $v_1$ (км $/$ год),
- Швидкість пішохода, що вийшов із $B$, через $v_2$ (км/год).
1. Складемо систему рівнянь:
1. За 1 год вони пройшли $10-1=9 \mathrm{kM}$ : $$
v_1+v_2=9
$$ 2. За друтою умовою: якби пішохід із $A$ вийшов на $15 \mathrm{xB}=\frac{1}{4}$ год раніше, то вони зустрілися 6 посередині шляху, тобто через 5 km . Тоді час для пішохода з $A$ дорівнює $t_1=\frac{5}{v_1}$, а час для пішохода з $B$ дорівнює $t_2=\frac{5}{v_2}$.
Різниця їхніх часів дорівнює $15 \mathrm{xB}=\frac{1}{4}$ год: $$
\frac{5}{v_1}-\frac{5}{v_2}=\frac{1}{4}
$$
Система рівнянь: $$
\left\{\begin{array}{l}
v_1+v_2=9 \\
\frac{5}{v_1}-\frac{5}{v_2}=\frac{1}{4}
\end{array}\right.
$$
2. Розв'яжемо систему рівнянь:
1. 3 першого рівняння: $$
v_2=9-v_1
$$ 2. Підставимо $v_2=9-v_1$ у друге рівняння: $$
\frac{5}{v_1}-\frac{5}{9-v_1}=\frac{1}{4}
$$ 3. Зведемо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
\frac{5\left(9-v_1\right)-5 v_1}{v_1\left(9-v_1\right)}=\frac{1}{4} \\
\frac{45-5 v_1-5 v_1}{v_1\left(9-v_1\right)}=\frac{1}{4} \\
\frac{45-10 v_1}{v_1\left(9-v_1\right)}=\frac{1}{4}
\end{gathered}
$$ 4. Помножимо на $4 v_1\left(9-v_1\right)$ : $$
\begin{aligned}
4\left(45-10 v_1\right) & =v_1\left(9-v_1\right) \\
180-40 v_1 & =9 v_1-v_1^2
\end{aligned}
$$ 5. Перенесемо всі члени в одну сторону: $$
v_1^2-49 v_1+180=0
$$ 6. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
v_1=\frac{-(-49) \pm \sqrt{(-49)^2-4 \cdot 1 \cdot 180}}{2 \cdot 1} \\
v_1=\frac{49 \pm \sqrt{2401-720}}{2} \\
v_1=\frac{49 \pm \sqrt{1681}}{2} \\
v_1=\frac{49 \pm 41}{2} \\
v_1=45 \quad \text { aбо } \quad v_1=4
\end{gathered}
$$ 7. Вибираємо розв'язок $v_1=4$ (оскільки $v_1=45$ не відповідає умові задачі). Знайдемо $v_2$ : $$
v_2=9-v_1=9-4=5
$$
Відповідь:
Швидкість пішоходів:
- $v_1=4 $ км/год
- $v_2=5 $ км/год.
