Вправа 579 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №579
Умова:
3 двох міст, відстань між якими 72 км, назустріч один одному вирушили два велосипедисти і зустрілися на середині шляху, причому один з них виїхав на 1 год раніше за другого. Якби велосипедисти виїхали одночасно, то вони 6 зустрілися через 2 год 24 хв. Знайдіть швидкості велосипедистів. Розв'язання:
Позначимо:
- Швидкість першого велосипедиста через $v_1$ (км/год),
- Швидкість другого велосипедиста через $v_2$ (км/год).
1. Відомі дані:
1. Якби велосипедисти виїхали одночасно, то за 2 год $24 \mathrm{xв}=2.4$ год вони разом подолали 6 всю відстань $72 \mathrm{kм}$ : $$
v_1+v_2=\frac{72}{2.4}=30
$$ 2. Вони зустрілися на середині шляху, тобто кожен із них подолав до зустрічі 36 km . Перший велосипедист витратив $t_1$ год, а другий $-t_2$ год. За умовою, $t_1=t_2+1$ : $$
\frac{36}{v_1}=\frac{36}{v_2}+1
$$
2. Система рівнянь: $$
\left\{\begin{array}{l}
v_1+v_2=30 \\
\frac{36}{v_1}=\frac{36}{v_2}+1
\end{array}\right.
$$ 3. Розв'язання:
1. 3 першого рівняння виразимо $v_2$ : $$
v_2=30-v_1
$$ 2. Підставимо $v_2=30-v_1$ у друге рівняння: $$
\frac{36}{v_1}=\frac{36}{30-v_1}+1
$$ 3. Зведемо до спільного знаменника: $$
\frac{36}{v_1}-\frac{36}{30-v_1}=1
$$ 4. Зведемо дроби: $$
\begin{gathered}
\frac{36\left(30-v_1\right)-36 v_1}{v_1\left(30-v_1\right)}=1 \\
\frac{1080-36 v_1-36 v_1}{v_1\left(30-v_1\right)}=1 \\
\frac{1080-72 v_1}{v_1\left(30-v_1\right)}=1
\end{gathered}
$$ 5. Помножимо на $v_1\left(30-v_1\right)$ : $$
\begin{aligned}
1080-72 v_1 & =v_1\left(30-v_1\right) \\
1080-72 v_1 & =30 v_1-v_1^2
\end{aligned}
$$ 6. Перенесемо всі члени в одну сторону: $$
v_1^2-102 v_1+1080=0
$$
7. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
v_1=\frac{-(-102) \pm \sqrt{(-102)^2-4 \cdot 1 \cdot 1080}}{2 \cdot 1} \\
v_1=\frac{102 \pm \sqrt{10404-4320}}{2} \\
v_1=\frac{102 \pm \sqrt{6084}}{2} . \\
v_1=\frac{102 \pm 78}{2} \\
v_1=90 \quad \text { aб० } \quad v_1=12
\end{gathered}
$$ 8. Вибираємо $v_1=12 $ км/год (оскільки $v_1=90 $ км/год не відповідає умовам). Знайдемо $v_2$ : $$
v_2=30-v_1=30-12=18 \text { км/год }
$$
Відповідь:
Швидкості велосипедистів:
- $v_1=12 $ км/год,
- $v_2=18 $ км/год.
Умова:
3 двох міст, відстань між якими 72 км, назустріч один одному вирушили два велосипедисти і зустрілися на середині шляху, причому один з них виїхав на 1 год раніше за другого. Якби велосипедисти виїхали одночасно, то вони 6 зустрілися через 2 год 24 хв. Знайдіть швидкості велосипедистів. Розв'язання:
Позначимо:
- Швидкість першого велосипедиста через $v_1$ (км/год),
- Швидкість другого велосипедиста через $v_2$ (км/год).
1. Відомі дані:
1. Якби велосипедисти виїхали одночасно, то за 2 год $24 \mathrm{xв}=2.4$ год вони разом подолали 6 всю відстань $72 \mathrm{kм}$ : $$
v_1+v_2=\frac{72}{2.4}=30
$$ 2. Вони зустрілися на середині шляху, тобто кожен із них подолав до зустрічі 36 km . Перший велосипедист витратив $t_1$ год, а другий $-t_2$ год. За умовою, $t_1=t_2+1$ : $$
\frac{36}{v_1}=\frac{36}{v_2}+1
$$
2. Система рівнянь: $$
\left\{\begin{array}{l}
v_1+v_2=30 \\
\frac{36}{v_1}=\frac{36}{v_2}+1
\end{array}\right.
$$ 3. Розв'язання:
1. 3 першого рівняння виразимо $v_2$ : $$
v_2=30-v_1
$$ 2. Підставимо $v_2=30-v_1$ у друге рівняння: $$
\frac{36}{v_1}=\frac{36}{30-v_1}+1
$$ 3. Зведемо до спільного знаменника: $$
\frac{36}{v_1}-\frac{36}{30-v_1}=1
$$ 4. Зведемо дроби: $$
\begin{gathered}
\frac{36\left(30-v_1\right)-36 v_1}{v_1\left(30-v_1\right)}=1 \\
\frac{1080-36 v_1-36 v_1}{v_1\left(30-v_1\right)}=1 \\
\frac{1080-72 v_1}{v_1\left(30-v_1\right)}=1
\end{gathered}
$$ 5. Помножимо на $v_1\left(30-v_1\right)$ : $$
\begin{aligned}
1080-72 v_1 & =v_1\left(30-v_1\right) \\
1080-72 v_1 & =30 v_1-v_1^2
\end{aligned}
$$ 6. Перенесемо всі члени в одну сторону: $$
v_1^2-102 v_1+1080=0
$$
7. Розв'яжемо квадратне рівняння: $$
\begin{gathered}
v_1=\frac{-(-102) \pm \sqrt{(-102)^2-4 \cdot 1 \cdot 1080}}{2 \cdot 1} \\
v_1=\frac{102 \pm \sqrt{10404-4320}}{2} \\
v_1=\frac{102 \pm \sqrt{6084}}{2} . \\
v_1=\frac{102 \pm 78}{2} \\
v_1=90 \quad \text { aб० } \quad v_1=12
\end{gathered}
$$ 8. Вибираємо $v_1=12 $ км/год (оскільки $v_1=90 $ км/год не відповідає умовам). Знайдемо $v_2$ : $$
v_2=30-v_1=30-12=18 \text { км/год }
$$
Відповідь:
Швидкості велосипедистів:
- $v_1=12 $ км/год,
- $v_2=18 $ км/год.
