Вправа 579 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №579
Умова:
3 двох міст, відстань між якими 72 км, назустріч один одному вирушили два велосипедисти і зустрілися на середині шляху, причому один з них виїхав на 1 год раніше за другого. Якби велосипедисти виїхали одночасно, то вони 6 зустрілися через 2 год 24 хв. Знайдіть швидкості велосипедистів.

Розв'язання:
Позначимо:
- Швидкість першого велосипедиста через $v_1$ (км/год),
- Швидкість другого велосипедиста через $v_2$ (км/год).
1. Відомі дані:
1. Якби велосипедисти виїхали одночасно, то за 2 год $24 \mathrm{xв}=2.4$ год вони разом подолали 6 всю відстань $72 \mathrm{kм}$ :

$$v_1+v_2=\frac{72}{2.4}=30$$

2. Вони зустрілися на середині шляху, тобто кожен із них подолав до зустрічі 36 km . Перший велосипедист витратив $t_1$ год, а другий $-t_2$ год. За умовою, $t_1=t_2+1$ :

$$\frac{36}{v_1}=\frac{36}{v_2}+1$$
2. Система рівнянь:

$$\left\{\begin{array}{l} v_1+v_2=30 \\ \frac{36}{v_1}=\frac{36}{v_2}+1 \end{array}\right.$$

3. Розв'язання:
1. 3 першого рівняння виразимо $v_2$ :

$$v_2=30-v_1$$

2. Підставимо $v_2=30-v_1$ у друге рівняння:

$$\frac{36}{v_1}=\frac{36}{30-v_1}+1$$

3. Зведемо до спільного знаменника:

$$\frac{36}{v_1}-\frac{36}{30-v_1}=1$$

4. Зведемо дроби:

$$\begin{gathered} \frac{36\left(30-v_1\right)-36 v_1}{v_1\left(30-v_1\right)}=1 \\ \frac{1080-36 v_1-36 v_1}{v_1\left(30-v_1\right)}=1 \\ \frac{1080-72 v_1}{v_1\left(30-v_1\right)}=1 \end{gathered}$$

5. Помножимо на $v_1\left(30-v_1\right)$ :

$$\begin{aligned} 1080-72 v_1 & =v_1\left(30-v_1\right) \\ 1080-72 v_1 & =30 v_1-v_1^2 \end{aligned}$$

6. Перенесемо всі члени в одну сторону:

$$v_1^2-102 v_1+1080=0$$
7. Розв'яжемо квадратне рівняння:

$$\begin{gathered} v_1=\frac{-(-102) \pm \sqrt{(-102)^2-4 \cdot 1 \cdot 1080}}{2 \cdot 1} \\ v_1=\frac{102 \pm \sqrt{10404-4320}}{2} \\ v_1=\frac{102 \pm \sqrt{6084}}{2} . \\ v_1=\frac{102 \pm 78}{2} \\ v_1=90 \quad \text { aб० } \quad v_1=12 \end{gathered}$$

8. Вибираємо $v_1=12$ км/год (оскільки $v_1=90$ км/год не відповідає умовам). Знайдемо $v_2$ :

$$v_2=30-v_1=30-12=18  \text { км/год }$$


Відповідь:
Швидкості велосипедистів:
- $v_1=12$ км/год,
- $v_2=18$ км/год.