Вправа 580 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №580
Умова:
Моторний човен проплив 33 km за течією річки і повернув назад за 3 год 20 xb . Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії річки, якщо відомо, що $11 \mathrm{kм}$ за течією і 6 km проти течії він долає за 50 xb .

Розв'язання:
Позначимо:
- власну швидкість човна через $v$ (км/год),
- швидкість течії через $u$ (км/год).
1. Швидкість руху човна:
- за течією: $v+u$,
- проти течії: $v-u$.
2. Рівняння для руху човна $33 \mathrm{kм}$ за течією і назад 33 км проти течії за 3 год $20 \mathrm{xB}=$ $\frac{10}{3}$ год:

$$\frac{33}{v+u}+\frac{33}{v-u}=\frac{10}{3}$$

3. Рівняння для руху човна $11 \mathrm{kм}$ за течією $\mathbf{i} 6 \mathrm{kм}$ проти течії за $50 \mathrm{xв}=\frac{5}{6}$ год:

$$\frac{11}{v+u}+\frac{6}{v-u}=\frac{5}{6}$$
Допоміжні позначення:
Позначимо:

$$x=\frac{1}{v+u}, \quad y=\frac{1}{v-u}$$


Тоді:
- Перше рівняння:

$$33 x+33 y=\frac{10}{3}, \quad \text { або } \quad x+y=\frac{10}{99}$$

- Друге рівняння:

$$11 x+6 y=\frac{5}{6}$$


Система рівнянь:

$$\left\{\begin{array}{l} x+y=\frac{10}{99} \\ 11 x+6 y=\frac{5}{6} \end{array}\right.$$
Розв'язання системи:
1. 3 першого рівняння:

$$y=\frac{10}{99}-x$$

2. Підставимо $y$ у друге рівняння:

$$\begin{gathered} 11 x+6\left(\frac{10}{99}-x\right)=\frac{5}{6} \\ 11 x+\frac{60}{99}-6 x=\frac{5}{6} \\ 5 x+\frac{20}{33}=\frac{5}{6} \\ 5 x=\frac{5}{6}-\frac{20}{33} \end{gathered}$$


Зведемо до спільного знаменника:

$$\begin{gathered} 5 x=\frac{55}{66}-\frac{40}{66}=\frac{15}{66} . \\ 5 x=\frac{5}{22} . \\ x=\frac{1}{22} . \end{gathered}$$

3. Знайдемо $y$ :

$$y=\frac{10}{99}-\frac{1}{22}$$


Зведемо до спільного знаменника:

$$\begin{gathered} y=\frac{220}{2178}-\frac{99}{2178}=\frac{121}{2178} \\ y=\frac{1}{18} \end{gathered}$$
Визначимо $v+u$ i $v-u$ :

$$\begin{aligned} & v+u=\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{1}{22}}=22 \\ & v-u=\frac{1}{y}=\frac{1}{\frac{1}{18}}=18 \end{aligned}$$


Знайдемо $v$ і $u$ :

$$\begin{aligned} & v=\frac{(v+u)+(v-u)}{2}=\frac{22+18}{2}=20  \text { км/год } \\ & u=\frac{(v+u)-(v-u)}{2}=\frac{22-18}{2}=2  \text { км/год } \end{aligned}$$


Відповідь:
Власна швидкість човна: 20 км/год.
Швидкість течіі: 2 км/год.