Вправа 580 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №580
Умова:
Моторний човен проплив 33 km за течією річки і повернув назад за 3 год 20 xb . Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії річки, якщо відомо, що $11 \mathrm{kм}$ за течією і 6 km проти течії він долає за 50 xb . Розв'язання:
Позначимо:
- власну швидкість човна через $v$ (км/год),
- швидкість течії через $u$ (км/год).
1. Швидкість руху човна:
- за течією: $v+u$,
- проти течії: $v-u$.
2. Рівняння для руху човна $33 \mathrm{kм}$ за течією і назад 33 км проти течії за 3 год $20 \mathrm{xB}=$ $\frac{10}{3}$ год: $$
\frac{33}{v+u}+\frac{33}{v-u}=\frac{10}{3}
$$ 3. Рівняння для руху човна $11 \mathrm{kм}$ за течією $\mathbf{i} 6 \mathrm{kм}$ проти течії за $50 \mathrm{xв}=\frac{5}{6}$ год: $$
\frac{11}{v+u}+\frac{6}{v-u}=\frac{5}{6}
$$
Допоміжні позначення:
Позначимо: $$
x=\frac{1}{v+u}, \quad y=\frac{1}{v-u}
$$
Тоді:
- Перше рівняння: $$
33 x+33 y=\frac{10}{3}, \quad \text { або } \quad x+y=\frac{10}{99}
$$ - Друге рівняння: $$
11 x+6 y=\frac{5}{6}
$$
Система рівнянь: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=\frac{10}{99} \\
11 x+6 y=\frac{5}{6}
\end{array}\right.
$$
Розв'язання системи:
1. 3 першого рівняння: $$
y=\frac{10}{99}-x
$$ 2. Підставимо $y$ у друге рівняння: $$
\begin{gathered}
11 x+6\left(\frac{10}{99}-x\right)=\frac{5}{6} \\
11 x+\frac{60}{99}-6 x=\frac{5}{6} \\
5 x+\frac{20}{33}=\frac{5}{6} \\
5 x=\frac{5}{6}-\frac{20}{33}
\end{gathered}
$$
Зведемо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
5 x=\frac{55}{66}-\frac{40}{66}=\frac{15}{66} . \\
5 x=\frac{5}{22} . \\
x=\frac{1}{22} .
\end{gathered}
$$ 3. Знайдемо $y$ : $$
y=\frac{10}{99}-\frac{1}{22}
$$
Зведемо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
y=\frac{220}{2178}-\frac{99}{2178}=\frac{121}{2178} \\
y=\frac{1}{18}
\end{gathered}
$$
Визначимо $v+u$ i $v-u$ : $$
\begin{aligned}
& v+u=\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{1}{22}}=22 \\
& v-u=\frac{1}{y}=\frac{1}{\frac{1}{18}}=18
\end{aligned}
$$
Знайдемо $v$ і $u$ : $$
\begin{aligned}
& v=\frac{(v+u)+(v-u)}{2}=\frac{22+18}{2}=20 \text { км/год } \\
& u=\frac{(v+u)-(v-u)}{2}=\frac{22-18}{2}=2 \text { км/год }
\end{aligned}
$$
Відповідь:
Власна швидкість човна: 20 км/год.
Швидкість течіі: 2 км/год.
Умова:
Моторний човен проплив 33 km за течією річки і повернув назад за 3 год 20 xb . Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії річки, якщо відомо, що $11 \mathrm{kм}$ за течією і 6 km проти течії він долає за 50 xb . Розв'язання:
Позначимо:
- власну швидкість човна через $v$ (км/год),
- швидкість течії через $u$ (км/год).
1. Швидкість руху човна:
- за течією: $v+u$,
- проти течії: $v-u$.
2. Рівняння для руху човна $33 \mathrm{kм}$ за течією і назад 33 км проти течії за 3 год $20 \mathrm{xB}=$ $\frac{10}{3}$ год: $$
\frac{33}{v+u}+\frac{33}{v-u}=\frac{10}{3}
$$ 3. Рівняння для руху човна $11 \mathrm{kм}$ за течією $\mathbf{i} 6 \mathrm{kм}$ проти течії за $50 \mathrm{xв}=\frac{5}{6}$ год: $$
\frac{11}{v+u}+\frac{6}{v-u}=\frac{5}{6}
$$
Допоміжні позначення:
Позначимо: $$
x=\frac{1}{v+u}, \quad y=\frac{1}{v-u}
$$
Тоді:
- Перше рівняння: $$
33 x+33 y=\frac{10}{3}, \quad \text { або } \quad x+y=\frac{10}{99}
$$ - Друге рівняння: $$
11 x+6 y=\frac{5}{6}
$$
Система рівнянь: $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=\frac{10}{99} \\
11 x+6 y=\frac{5}{6}
\end{array}\right.
$$
Розв'язання системи:
1. 3 першого рівняння: $$
y=\frac{10}{99}-x
$$ 2. Підставимо $y$ у друге рівняння: $$
\begin{gathered}
11 x+6\left(\frac{10}{99}-x\right)=\frac{5}{6} \\
11 x+\frac{60}{99}-6 x=\frac{5}{6} \\
5 x+\frac{20}{33}=\frac{5}{6} \\
5 x=\frac{5}{6}-\frac{20}{33}
\end{gathered}
$$
Зведемо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
5 x=\frac{55}{66}-\frac{40}{66}=\frac{15}{66} . \\
5 x=\frac{5}{22} . \\
x=\frac{1}{22} .
\end{gathered}
$$ 3. Знайдемо $y$ : $$
y=\frac{10}{99}-\frac{1}{22}
$$
Зведемо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
y=\frac{220}{2178}-\frac{99}{2178}=\frac{121}{2178} \\
y=\frac{1}{18}
\end{gathered}
$$
Визначимо $v+u$ i $v-u$ : $$
\begin{aligned}
& v+u=\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{1}{22}}=22 \\
& v-u=\frac{1}{y}=\frac{1}{\frac{1}{18}}=18
\end{aligned}
$$
Знайдемо $v$ і $u$ : $$
\begin{aligned}
& v=\frac{(v+u)+(v-u)}{2}=\frac{22+18}{2}=20 \text { км/год } \\
& u=\frac{(v+u)-(v-u)}{2}=\frac{22-18}{2}=2 \text { км/год }
\end{aligned}
$$
Відповідь:
Власна швидкість човна: 20 км/год.
Швидкість течіі: 2 км/год.
