Вправа 585 алгебра Істер гдз 9 клас

Розв'язання:
Нам нужно упростить выражение: $$
(\sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\sqrt{5-2 \sqrt{6}})^2
$$ 1. Упростим выражения под корнями:
- Рассмотрим $\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$. Заметим, что это можно представить как $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$, так как: $$
(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=3+2+2 \sqrt{6}=5+2 \sqrt{6}
$$
Значит: $$
\sqrt{5+2 \sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}
$$ - Рассмотрим $\sqrt{5-2 \sqrt{6}}$. Заметим, что это можно представить как $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$, так как: $$
(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2 \sqrt{6}=5-2 \sqrt{6}
$$
Значит: $$
\sqrt{5-2 \sqrt{6}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}
$$ 2. Подставляем упрощённые выражения в исходное уравнение: $$
(\sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\sqrt{5-2 \sqrt{6}})^2=((\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2}))^2
$$ 3. Упрощаем выражение: $$
(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}=2 \sqrt{2}
$$
Теперь возводим в квадрат: $$
(2 \sqrt{2})^2=4 \cdot 2=8
$$