Вправа 596 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №596
Знайдемо область значень функцій:
1) $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$
1. Підкореневі вирази мають бути невід'ємні:

$$\begin{aligned} & x-1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1 \\ & 1-x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1 \end{aligned}$$

2. Об'єднання:

$$x=1$$


Значення функції:

$$f(1)=0+0=0 .$$


Відповідь:

$$y=0$$

2) $g(x)=\sqrt{-(x-1)^2}$
1. Підкореневий вираз має бути невід'ємним:

$$-(x-1)^2 \geq 0$$

2. Оскільки квадрат завжди додатний або 0:

$$x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=1$$


Відповідь:

$$y=0$$
3) $\varphi(x)=\sqrt{4-x^2}$
1. Підкореневий вираз:

$$4-x^2 \geq 0$$

2. Розв'язуємо нерівність:

$$4 \geq x^2 \quad \Rightarrow \quad-2 \leq x \leq 2$$


Значення функції:
Максимум:

$$\sqrt{4-0}=2$$


Мінімум:

$$\sqrt{0}=0$$


Відповідь:

$$y \in[0 ; 2]$$

4) $g(x)=\frac{1}{x^2+1}$
1. Знаменник завжди додатний, тому обмежень немає.
2. Функція приймає значення:

Максимум при $x=0$ :

$$g(0)=1$$


Мінімум:

$$g(x) \rightarrow 0, x \rightarrow \pm \infty$$


Відповідь:

$$y \in(0 ; 1]$$
5) $t(x)=\sqrt{x^2+9}-5$
1. Підкореневий вираз завжди додатний.
2. Мінімум:

$$\sqrt{0+9}-5=3-5=-2$$


Відповідь:

$$y \in[-2 ;+\infty)$$

6) $f(x)=\frac{1}{x^2+2 x+5}$
1. Знаменник завжди додатний:

$$x^2+2 x+5=(x+1)^2+4>0$$

2. Мінімум знаменника:

$$(0+4)=4$$

3. Максимум функції:

$$\frac{1}{4}=0.25$$


Відповідь:

$$y \in(0 ; 0.25]$$