Вправа 630 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №630.
Умова: Знайдіть множину розв'язків нерівності:
1. $x^2-2 x-9 \geq 0$;
2. $x^2-11+4 x<0$;
3. $\frac{1}{4} x^2-x+1>0$;
4. $6 x+x^2+9 \geq 0$;
5. $-x^2-8 x-16<0$;
6. $x^2+x+9 \geq 0$.
Розв'язання:
1) $x^2-2 x-9 \geq 0$ : Запишемо нерівність у вигляді $f(x) \geq 0$ : $$
x^2-2 x-9=0
$$
Знайдемо дискримінант: $$
D=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot(-9)=4+36=40
$$
Корені рівняння: $$
x=\frac{-(-2) \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}=\frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}=1 \pm \sqrt{10}
$$
Розбиваємо вісь на інтервали: $(-\infty ; 1-\sqrt{10}),(1-\sqrt{10} ; 1+\sqrt{10}),(1+$ $\sqrt{10} ;+\infty)$.
Аналізуємо знак на кожному інтервалі (методом пробних точок):
- $\mathrm{Ha}(-\infty ; 1-\sqrt{10}): f(x)>0$.
- $\mathrm{Ha}(1-\sqrt{10} ; 1+\sqrt{10}): f(x)<0$.
- $\mathrm{Ha}(1+\sqrt{10} ;+\infty): f(x)>0$. Враховуючи знак $\geq$, розв'язок: $$
x \in(-\infty ; 1-\sqrt{10}] \cup[1+\sqrt{10} ;+\infty)
$$
2) $x^2+4 x-11<0$ : Рівняння: $$
x^2+4 x-11=0
$$
Знайдемо дискримінант: $$
D=4^2-4 \cdot 1 \cdot(-11)=16+44=60
$$
Корені рівняння: $$
x=\frac{-4 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}=\frac{-4 \pm 2 \sqrt{15}}{2}=-2 \pm \sqrt{15}
$$
Розбиваємо вісь на інтервали: $(-\infty ;-2-\sqrt{15}),(-2-\sqrt{15} ;-2+\sqrt{15})$, $(-2+\sqrt{15} ;+\infty)$. Аналізуємо знак:
- $\mathrm{Ha}(-\infty ;-2-\sqrt{15}): f(x)>0$.
- На $(-2-\sqrt{15} ;-2+\sqrt{15}): f(x)<0$.
- $\mathrm{Ha}(-2+\sqrt{15} ;+\infty): f(x)>0$. Враховуючи знак $<0$, розв'язок: $$
x \in(-2-\sqrt{15} ;-2+\sqrt{15})
$$
3) $\frac{1}{4} x^2-x+1>0$ : Рівняння: $$
\frac{1}{4} x^2-x+1=0
$$
Домножимо на 4: $$
x^2-4 x+4=0
$$
Знайдемо дискримінант: $$
D=(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 4=16-16=0
$$
Оскільки дискримінант дорівнює нулю, єдиний корінь: $$
x=\frac{-(-4)}{2 \cdot 1}=2
$$
Квадратична функція $\frac{1}{4} x^2-x+1$ додатна за межами кореня: $$
x \in(-\infty ; 2) \cup(2 ;+\infty)
$$
4) $6 x+x^2+9 \geq 0$ : Рівняння: $$
x^2+6 x+9=0
$$
Це повний квадрат: $$
(x+3)^2=0
$$
Єдиний корінь: $$
x=-3
$$
Функція $(x+3)^2 \geq 0$ для всіх $x$.
Відповідь: $x \in \mathbb{R}$ (всі дійсні числа).
5) $-x^2-8 x-16<0$ : Рівняння: $$
-x^2-8 x-16=0
$$
Поділимо на -1 : $$
x^2+8 x+16=0
$$
Це повний квадрат: $$
(x+4)^2=0
$$
Корінь: $$
x=-4
$$
Функція $-(x+4)^2$ менша за нуль на: $$
x \in(-\infty ;-4) \cup(-4 ;+\infty)
$$
6) $x^2+x+9 \geq 0$ : Рівняння: $$
x^2+x+9=0
$$
Знайдемо дискримінант: $$
D=1^2-4 \cdot 1 \cdot 9=1-36=-35
$$
Оскільки дискримінант від'ємний, коренів немає, і функція завжди додатна. Відповідь: $x \in \mathbb{R}$ (всі дійсні числа). Загальні відповіді:
1. $x \in(-\infty ; 1-\sqrt{10}] \cup[1+\sqrt{10} ;+\infty)$;
2. $x \in(-2-\sqrt{15} ;-2+\sqrt{15})$;
3. $x \in(-\infty ; 2) \cup(2 ;+\infty)$;
4. $x \in \mathbb{R}$;
5. $x \in(-\infty ;-4) \cup(-4 ;+\infty)$;
6. $x \in \mathbb{R}$.