Вправа 631 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №631.
Розв'язання нерівностей:
1) $\frac{x^2-1}{4}>5+x$ :
1. Перенесемо всі доданки в одну сторону: $$
\frac{x^2-1}{4}-5-x>0
$$
Домножимо на 4: $$
\begin{gathered}
x^2-1-20-4 x>0 \\
x^2-4 x-21>0
\end{gathered}
$$ 2. Розв'яжемо рівняння: $$
x^2-4 x-21=0
$$
Дискримінант: $$
D=(-4)^2-4(1)(-21)=16+84=100
$$
Корені: $$
x=\frac{4 \pm 10}{2}=7,-3
$$ 3. Знаки: $$
x \in(-\infty ;-3) \cup(7 ;+\infty)
$$
2) $(x-4)(x-5) \leq 2$ :
1. Перенесемо 2 вліво: $$
\begin{gathered}
x^2-9 x+20-2 \leq 0 \\
x^2-9 x+18 \leq 0
\end{gathered}
$$ 2. Корені рівняння: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-(-9) \pm \sqrt{81-72}}{2(1)}=\frac{9 \pm 3}{2} \\
x=6,3
\end{gathered}
$$ 3. Знаки: $$
x \in[3 ; 6]$$ 3) $6 x^2-14 x+12 \geq(x-3)^2$ :
1. Розкриємо дужки: $$
\begin{gathered}
6 x^2-14 x+12 \geq x^2-6 x+9 \\
5 x^2-8 x+3 \geq 0
\end{gathered}
$$ 2. Корені рівняння: $$
\begin{gathered}
D=(-8)^2-4(5)(3)=64-60=4 \\
x=\frac{8 \pm 2}{10} \\
x=1, \quad x=0.6
\end{gathered}
$$ 3. Знаки: $$
x \in(-\infty ; 0.6] \cup[1 ;+\infty)
$$
4) $\frac{x^2-4}{3}<\frac{x-2}{2}$ :
1. Зведемо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
2\left(x^2-4\right)<3(x-2) \\
2 x^2-8<3 x-6 \\
2 x^2-3 x-2<0
\end{gathered}
$$ 2. Корені рівняння: $$
\begin{gathered}
D=(-3)^2-4(2)(-2)=9+16=25 \\
x=\frac{3 \pm 5}{4} \\
x=2, \quad x=-0.5
\end{gathered}
$$ 3. Знаки: $$
x \in(-0.5 ; 2)
$$
Відповіді:
1. $x \in(-\infty ;-3) \cup(7 ;+\infty)$.
2. $x \in[3 ; 6]$.
3. $x \in(-\infty ; 0.6] \cup[1 ;+\infty)$.
4. $x \in(-0.5 ; 2)$.
Розв'язання нерівностей:
1) $\frac{x^2-1}{4}>5+x$ :
1. Перенесемо всі доданки в одну сторону: $$
\frac{x^2-1}{4}-5-x>0
$$
Домножимо на 4: $$
\begin{gathered}
x^2-1-20-4 x>0 \\
x^2-4 x-21>0
\end{gathered}
$$ 2. Розв'яжемо рівняння: $$
x^2-4 x-21=0
$$
Дискримінант: $$
D=(-4)^2-4(1)(-21)=16+84=100
$$
Корені: $$
x=\frac{4 \pm 10}{2}=7,-3
$$ 3. Знаки: $$
x \in(-\infty ;-3) \cup(7 ;+\infty)
$$
2) $(x-4)(x-5) \leq 2$ :
1. Перенесемо 2 вліво: $$
\begin{gathered}
x^2-9 x+20-2 \leq 0 \\
x^2-9 x+18 \leq 0
\end{gathered}
$$ 2. Корені рівняння: $$
\begin{gathered}
x=\frac{-(-9) \pm \sqrt{81-72}}{2(1)}=\frac{9 \pm 3}{2} \\
x=6,3
\end{gathered}
$$ 3. Знаки: $$
x \in[3 ; 6]$$ 3) $6 x^2-14 x+12 \geq(x-3)^2$ :
1. Розкриємо дужки: $$
\begin{gathered}
6 x^2-14 x+12 \geq x^2-6 x+9 \\
5 x^2-8 x+3 \geq 0
\end{gathered}
$$ 2. Корені рівняння: $$
\begin{gathered}
D=(-8)^2-4(5)(3)=64-60=4 \\
x=\frac{8 \pm 2}{10} \\
x=1, \quad x=0.6
\end{gathered}
$$ 3. Знаки: $$
x \in(-\infty ; 0.6] \cup[1 ;+\infty)
$$
4) $\frac{x^2-4}{3}<\frac{x-2}{2}$ :
1. Зведемо до спільного знаменника: $$
\begin{gathered}
2\left(x^2-4\right)<3(x-2) \\
2 x^2-8<3 x-6 \\
2 x^2-3 x-2<0
\end{gathered}
$$ 2. Корені рівняння: $$
\begin{gathered}
D=(-3)^2-4(2)(-2)=9+16=25 \\
x=\frac{3 \pm 5}{4} \\
x=2, \quad x=-0.5
\end{gathered}
$$ 3. Знаки: $$
x \in(-0.5 ; 2)
$$
Відповіді:
1. $x \in(-\infty ;-3) \cup(7 ;+\infty)$.
2. $x \in[3 ; 6]$.
3. $x \in(-\infty ; 0.6] \cup[1 ;+\infty)$.
4. $x \in(-0.5 ; 2)$.
