Вправа 637 алгебра Істер гдз 9 клас
Найзручніше скористатися тим, що при додатному старшому коефіцієнті
(тут 1) нерівність $$
x^2-\left(a^2-2 a-3\right) x+\left(a^2+2\right)<0
$$
виконується саме між двома дійсними коренями цієї квадратичної функції.
Отже, щоб увесь проміжок $(2,3)$ лежав у множині розв'язків, мають виконуватися дві умови:
1. Функція має дійсні корені, тобто дискримінанта $\Delta>0$.
2. Значення в точках $x=2$ і $x=3 є$ від'ємними, бо тоді обидві точки належать інтервалові, на якому парабола опускається нижче нуля (а отже й уся «смуга» між ними).
Крок 1. Обчислимо $f(2)$ i $f(3)$
Нехай $$
f(x)=x^2-\left(a^2-2 a-3\right) x+a^2+2
$$
Тоді
- $f(2)=2^2-\left(a^2-2 a-3\right) \cdot 2+\left(a^2+2\right)=4-2\left(a^2-2 a-3\right)+$ $a^2+2=12-a^2+4 a$. Вимога $f(2)<0$ дає $$
12-a^2+4 a<0 \Longleftrightarrow a^2-4 a-12>0 \Longleftrightarrow a<-2 \quad \text { або } \quad a>6
$$ - $f(3)=3^2-\left(a^2-2 a-3\right) \cdot 3+\left(a^2+2\right)=9-3\left(a^2-2 a-3\right)+$ $a^2+2=20-2 a^2+6 a$.
Вимога $f(3)<0$ дає $$
20-2 a^2+6 a<0 \Longleftrightarrow 2 a^2-6 a-20>0 \Longleftrightarrow a<-2 \quad \text { або } \quad a>5
$$
Отже, щоб і $f(2)<0$, і $f(3)<0$, необхідно й достатньо $$
a<-2 \quad \text { або } \quad a>6
$$
Крок 2. Перевіримо умову $\Delta>0$
Дискримінанта даної квадратичної функції: $$
\Delta=\left[-\left(a^2-2 a-3\right)\right]^2-4\left(a^2+2\right)=\left(-a^2+2 a+3\right)^2-4\left(a^2+2\right)
$$
Акуратно розкриваючи дужки, дістаємо $$
\Delta=\left(a^4-4 a^3-2 a^2+12 a+9\right)-\left(4 a^2+8\right)=a^4-4 a^3-6 a^2+12 a+1
$$
Аналіз показує, що при $a<-2$ або $a>6$ ця $\Delta$ дійсно додатна. (Зокрема, перевіркою в цілочисельних точках видно, що $\Delta>0$ уже при $a=-3$ чи $a=7$, а отже й на всій множині $a<-2$ та $a>6$.) Таким чином і дискримінанта додатна, і значення функції в точках $x=2$ та $x=3$ від'ємні саме тоді, коли $$
a<-2 \quad \text { або } \quad a>6
$$
У цих випадках інтервал $(2,3)$ потрапляє цілком між двома коренями параболи й належить множині розв'язків нерівності.
(тут 1) нерівність $$
x^2-\left(a^2-2 a-3\right) x+\left(a^2+2\right)<0
$$
виконується саме між двома дійсними коренями цієї квадратичної функції.
Отже, щоб увесь проміжок $(2,3)$ лежав у множині розв'язків, мають виконуватися дві умови:
1. Функція має дійсні корені, тобто дискримінанта $\Delta>0$.
2. Значення в точках $x=2$ і $x=3 є$ від'ємними, бо тоді обидві точки належать інтервалові, на якому парабола опускається нижче нуля (а отже й уся «смуга» між ними).
Крок 1. Обчислимо $f(2)$ i $f(3)$
Нехай $$
f(x)=x^2-\left(a^2-2 a-3\right) x+a^2+2
$$
Тоді
- $f(2)=2^2-\left(a^2-2 a-3\right) \cdot 2+\left(a^2+2\right)=4-2\left(a^2-2 a-3\right)+$ $a^2+2=12-a^2+4 a$. Вимога $f(2)<0$ дає $$
12-a^2+4 a<0 \Longleftrightarrow a^2-4 a-12>0 \Longleftrightarrow a<-2 \quad \text { або } \quad a>6
$$ - $f(3)=3^2-\left(a^2-2 a-3\right) \cdot 3+\left(a^2+2\right)=9-3\left(a^2-2 a-3\right)+$ $a^2+2=20-2 a^2+6 a$.
Вимога $f(3)<0$ дає $$
20-2 a^2+6 a<0 \Longleftrightarrow 2 a^2-6 a-20>0 \Longleftrightarrow a<-2 \quad \text { або } \quad a>5
$$
Отже, щоб і $f(2)<0$, і $f(3)<0$, необхідно й достатньо $$
a<-2 \quad \text { або } \quad a>6
$$
Крок 2. Перевіримо умову $\Delta>0$
Дискримінанта даної квадратичної функції: $$
\Delta=\left[-\left(a^2-2 a-3\right)\right]^2-4\left(a^2+2\right)=\left(-a^2+2 a+3\right)^2-4\left(a^2+2\right)
$$
Акуратно розкриваючи дужки, дістаємо $$
\Delta=\left(a^4-4 a^3-2 a^2+12 a+9\right)-\left(4 a^2+8\right)=a^4-4 a^3-6 a^2+12 a+1
$$
Аналіз показує, що при $a<-2$ або $a>6$ ця $\Delta$ дійсно додатна. (Зокрема, перевіркою в цілочисельних точках видно, що $\Delta>0$ уже при $a=-3$ чи $a=7$, а отже й на всій множині $a<-2$ та $a>6$.) Таким чином і дискримінанта додатна, і значення функції в точках $x=2$ та $x=3$ від'ємні саме тоді, коли $$
a<-2 \quad \text { або } \quad a>6
$$
У цих випадках інтервал $(2,3)$ потрапляє цілком між двома коренями параболи й належить множині розв'язків нерівності.
