Вправа 638 алгебра Істер гдз 9 клас
Щоб знайти спільні точки двох графіків
$$
y=m x^2-x \quad \text { та } \quad y=m x+1-2 m
$$
потрібно розв'язати систему, ототожнивши праві частини: $$
m x^2-x=m x+1-2 m
$$
Перенісши все в одну частину, дістаємо квадратне рівняння щодо $x$ : $$
m x^2-x-m x-(1-2 m)=0 \Longrightarrow m x^2-(1+m) x+(2 m-1)=0
$$ 1. Якщо $m=0$, тоді перший графік стає $y=-x$, а другий $-y=1$. Вони перетинаються при $-x=1$, тобто $x=-1$. Отже, для $m=0$ спільні точки є.
2. Якщо $m \neq 0$, треба проаналізувати дискримінанту $\Delta$ цього квадратичного рівняння: $$
\Delta=(1+m)^2-4 m(2 m-1)=1+2 m+m^2-4 m(2 m-1)
$$
Розкривши дужки, $$
\Delta=1+2 m+m^2-\left(8 m^2-4 m\right)=1+2 m+m^2-8 m^2+4 m=1+6 m-7 m^2
$$ - Якщо $\Delta>0$, то рівняння має два дійсні корені, і графіки перетинаються в двох точках.
- Якщо $\Delta=0$, тоді маємо один спільний дійсний корінь (дотик).
- Якщо $\Delta<0$, то дійсних розв'язків немає і, отже, графіки не мають спільних точок. Тож шукаємо, коли $\Delta<0$, тобто $$
1+6 m-7 m^2<0 \Longleftrightarrow 7 m^2-6 m-1>0
$$
Ця нерівність виконується для $m$ за межами проміжку між її коренями.
Розв'язавши рівняння $$
7 m^2-6 m-1=0
$$
дістанемо $$
m=\frac{6 \pm \sqrt{36+28}}{14}=\frac{6 \pm 8}{14}
$$
Звідси $m=1$ або $m=-\frac{1}{7}$. За ознакою старшого коефіцієнта $7>0$ маємо $7 m^2-6 m-1>0$ для $$
m<-\frac{1}{7} \quad \text { аб० } \quad m>1
$$
3 урахуванням того, що при $m=0$ перетин $\epsilon$, а при $m=1$ і $m=-\frac{1}{7}$ теж буде принаймні одна спільна точка, отримуємо відповідь: Графіки не перетинаються саме тоді, коли $$
m<-\frac{1}{7} \quad \text { аб० } \quad m>1
$$
y=m x^2-x \quad \text { та } \quad y=m x+1-2 m
$$
потрібно розв'язати систему, ототожнивши праві частини: $$
m x^2-x=m x+1-2 m
$$
Перенісши все в одну частину, дістаємо квадратне рівняння щодо $x$ : $$
m x^2-x-m x-(1-2 m)=0 \Longrightarrow m x^2-(1+m) x+(2 m-1)=0
$$ 1. Якщо $m=0$, тоді перший графік стає $y=-x$, а другий $-y=1$. Вони перетинаються при $-x=1$, тобто $x=-1$. Отже, для $m=0$ спільні точки є.
2. Якщо $m \neq 0$, треба проаналізувати дискримінанту $\Delta$ цього квадратичного рівняння: $$
\Delta=(1+m)^2-4 m(2 m-1)=1+2 m+m^2-4 m(2 m-1)
$$
Розкривши дужки, $$
\Delta=1+2 m+m^2-\left(8 m^2-4 m\right)=1+2 m+m^2-8 m^2+4 m=1+6 m-7 m^2
$$ - Якщо $\Delta>0$, то рівняння має два дійсні корені, і графіки перетинаються в двох точках.
- Якщо $\Delta=0$, тоді маємо один спільний дійсний корінь (дотик).
- Якщо $\Delta<0$, то дійсних розв'язків немає і, отже, графіки не мають спільних точок. Тож шукаємо, коли $\Delta<0$, тобто $$
1+6 m-7 m^2<0 \Longleftrightarrow 7 m^2-6 m-1>0
$$
Ця нерівність виконується для $m$ за межами проміжку між її коренями.
Розв'язавши рівняння $$
7 m^2-6 m-1=0
$$
дістанемо $$
m=\frac{6 \pm \sqrt{36+28}}{14}=\frac{6 \pm 8}{14}
$$
Звідси $m=1$ або $m=-\frac{1}{7}$. За ознакою старшого коефіцієнта $7>0$ маємо $7 m^2-6 m-1>0$ для $$
m<-\frac{1}{7} \quad \text { аб० } \quad m>1
$$
3 урахуванням того, що при $m=0$ перетин $\epsilon$, а при $m=1$ і $m=-\frac{1}{7}$ теж буде принаймні одна спільна точка, отримуємо відповідь: Графіки не перетинаються саме тоді, коли $$
m<-\frac{1}{7} \quad \text { аб० } \quad m>1
$$
