Вправа 639 алгебра Істер гдз 9 клас

Рівняння

$$x^2-2(a-1) x-(9 a+5)=0$$


є звичайним квадратичним щодо $x$. Щоб знайти його корені, обчислимо дискримінанту:

$$\Delta=[-2(a-1)]^2-4 \cdot 1 \cdot[-(9 a+5)]=4(a-1)^2+4(9 a+5)=4\left(a^2-2 a+1+9 a+5\right)$$


Отже,

$$\Delta=4\left(a^2+7 a+6\right)=4(a+1)(a+6)$$


Якщо $\Delta<0$, дійсних розв'язків немає; якщо $\Delta=0$, маємо єдиний (подвійний) розв'язок; якщо $\Delta>0$, буде два різних дійсних корені.
1. Формула коренів (коли $\Delta \geq 0$ ) має вигляд

$$x=\frac{2(a-1) \pm \sqrt{\Delta}}{2}=\frac{2(a-1) \pm 2 \sqrt{(a+1)(a+6)}}{2}=(a-1) \pm \sqrt{(a+1)(a+6)}$$

2. Умови на параметр а для дійсних розв'язків:

$$\Delta=4(a+1)(a+6) \geq 0 \Longleftrightarrow(a+1)(a+6) \geq 0 \Longleftrightarrow a \leq-6 \quad \text { аб० } \quad a \geq-1$$


Таким чином:
- Якщо $(a+1)(a+6)>0$, тобто $a<-6$ або $a>-1$, рівняння має два різні дійсні корені

$$x_1=(a-1)+\sqrt{(a+1)(a+6)}, \quad x_2=(a-1)-\sqrt{(a+1)(a+6)}$$

- Якщо $(a+1)(a+6)=0$, тобто $a=-6$ чи $a=-1$, тоді $\Delta=0$ і маємо єдиний (подвійний) корінь.
Підставивши $a=-6$ або $a=-1$ у формулу, легко знайти цей корінь.
- Якщо $-6<a<-1$, то $\Delta<0$, і дійсних розв'язків немає.