Вправа 640 алгебра Істер гдз 9 клас
1) $x^2+x(2+a)+2 a<0$
Нехай
$$
f_1(x)=x^2+(2+a) x+2 a
$$
Це «вгору відкрита» парабола (старший коефіцієнт +1 ). Умову $f_1(x)<0$ маємо саме між двома дійсними коренями (якщо вони існують).
1. Дискримінанта
$\Delta_1=(2+a)^2-4 \cdot 1 \cdot 2 a=(2+a)^2-8 a=a^2-4 a+4=(a-2)^2 \geq 0 \quad$ для всіх $a$.
Тобто дійсні корені існують завжди, але вони можуть збігатися при $\Delta_1=0$, тобто при $a=2$.
2. Корені рівняння $f_1(x)=0$. За формулою $$
x_{1,2}=\frac{-(2+a) \pm \sqrt{(a-2)^2}}{2}=\frac{-2-a \pm|a-2|}{2}
$$ - Якщо $a>2$, тоді $|a-2|=a-2$, і корені виходять $x_1=-a$, $x_2=-2$. При цьому $-a<-2$ (бо $a>2$ ), тож нерівність $f_1(x)<0$ виконується на проміжку $$
(-a,-2) \quad \text { для } a>2 .
$$ - Якщо $a<2$, тоді $|a-2|=2-a$, і обчислення дають корені $x_1=-2, x_2=-a$. Тепер $-2<-a$ (бо $a<2$ ), тож маємо проміжок $$
(-2,-a) \quad \text { для } a<2
$$ - Якщо $a=2$, то $\Delta_1=0$ і обидва корені збігаються (дістанемо $f_1(x)=(x+2)^2$ ). Тоді $f_1(x)<0$ не має розв'язків, бо $(x+2)^2 \geq 0$ завжди.
Підсумок для першої нерівності: $$
f_1(x)<0 \Longrightarrow \begin{cases}x \in(-2,-a), & a<2 \\ \varnothing, & a=2 \\ x \in(-a,-2), & a>2\end{cases}
$$ 2) $x^2-x(a-3)-\left(2 a^2+6 a\right) \geq 0$ Тепер розгляньмо $$
f_2(x)=x^2-(a-3) x-\left(2 a^2+6 a\right)
$$
Це теж парабола з додатним старшим коефіцієнтом, отже $f_2(x) \geq 0$ виконується поза проміжком між коренями (або на всій вісі, якщо коренів немає чи вони збігаються і парабола «вище» від осі).
1. Дискримінанта $$
\Delta_2=[-(a-3)]^2-4 \cdot 1 \cdot\left[-\left(2 a^2+6 a\right)\right]=(a-3)^2+4\left(2 a^2+6 a\right)
$$
Розкриваючи дужки, $$
(a-3)^2=a^2-6 a+9, \quad 4\left(2 a^2+6 a\right)=8 a^2+24 a
$$
тому $$
\Delta_2=a^2-6 a+9+8 a^2+24 a=9 a^2+18 a+9=9\left(a^2+2 a+1\right)=9(a+1)^2 \geq 0
$$
Отже реальні корені існують завжди, причому вони збігаються тоді й тільки тоді, коли $a=-1$
2. Корені рівняння $f_2(x)=0$. За формулою $$
x_{1,2}=\frac{(a-3) \pm \sqrt{9(a+1)^2}}{2}=\frac{(a-3) \pm 3|a+1|}{2}
$$
Розгляньмо знак $a+1$ :
- Якщо $a \geq-1$, тоді $|a+1|=a+1$. Звідси $$
\begin{gathered}
x_1=\frac{a-3-3(a+1)}{2}=\frac{a-3-3 a-3}{2}=\frac{-2 a-6}{2}=-a-3 \\
x_2=\frac{a-3+3(a+1)}{2}=\frac{a-3+3 a+3}{2}=\frac{4 a}{2}=2 a
\end{gathered}
$$
При $a>-1$ маємо $-a-3<2 a$, тож парабола $f_2(x) \geq 0$ поза інтервалом ( $-a-$ $3,2 a)$.
Якщо ж $a=-1$, тоді обидва корені збігаються в точці $-(-1)-3=-2$, і виявляється $f_2(x) \equiv(x+2)^2$. Це невід'ємно для всіх $x$, тобто розв'язком $\epsilon$ вся дійсна вісь. Підсумовуючи, $$
a \geq-1 \Longrightarrow\left\{\begin{array}{ll}
x \in \mathbb{R}, & a=-1 \\
x \leq-a-3 \text { або } x \geq 2 a, & a>-1
\end{array} \quad \text { (подвійний корінь) },\right.
$$ - Якщо $a<-1$, тоді $|a+1|=-(a+1)$, тому $$
\begin{gathered}
x_1=\frac{a-3-3(-(a+1))}{2}=\frac{a-3+3 a+3}{2}=\frac{4 a}{2}=2 a \\
x_2=\frac{a-3+3(-(a+1))}{2}=\frac{a-3-3 a-3}{2}=\frac{-2 a-6}{2}=-a-3 .
\end{gathered}
$$
Тепер при $a<-1$ маємо $2 a<-a-3$, тож парабола не менш нуля поза ( $2 a,-a-3$ ), тобто
$$
x \leq 2 a \quad \text { або } \quad x \geq-a-3
$$
Підсумкова відповідь
1. Нерівність $x^2+x(2+a)+2 a<0$ має розв'язки в залежності від $a$ :
- якщо $a<2$, то $\quad x \in(-2,-a)$;
- якщо $a=2$, то розв'язків немає;
- якщо $a>2$, то $\quad x \in(-a,-2)$.
2. Нерівність $x^2-x(a-3)-\left(2 a^2+6 a\right) \geq 0$ виконується:
- для $a>-1$ : $$
x \leq-a-3 \quad \text { або } \quad x \geq 2 a
$$ - для $a=-1$ : розв'язком є вся пряма $\left(f_2(x) \equiv(x+2)^2 \geq 0\right)$,
- для $a<-1$ : $$
x \leq 2 a \quad \text { або } \quad x \geq-a-3
$$
f_1(x)=x^2+(2+a) x+2 a
$$
Це «вгору відкрита» парабола (старший коефіцієнт +1 ). Умову $f_1(x)<0$ маємо саме між двома дійсними коренями (якщо вони існують).
1. Дискримінанта
$\Delta_1=(2+a)^2-4 \cdot 1 \cdot 2 a=(2+a)^2-8 a=a^2-4 a+4=(a-2)^2 \geq 0 \quad$ для всіх $a$.
Тобто дійсні корені існують завжди, але вони можуть збігатися при $\Delta_1=0$, тобто при $a=2$.
2. Корені рівняння $f_1(x)=0$. За формулою $$
x_{1,2}=\frac{-(2+a) \pm \sqrt{(a-2)^2}}{2}=\frac{-2-a \pm|a-2|}{2}
$$ - Якщо $a>2$, тоді $|a-2|=a-2$, і корені виходять $x_1=-a$, $x_2=-2$. При цьому $-a<-2$ (бо $a>2$ ), тож нерівність $f_1(x)<0$ виконується на проміжку $$
(-a,-2) \quad \text { для } a>2 .
$$ - Якщо $a<2$, тоді $|a-2|=2-a$, і обчислення дають корені $x_1=-2, x_2=-a$. Тепер $-2<-a$ (бо $a<2$ ), тож маємо проміжок $$
(-2,-a) \quad \text { для } a<2
$$ - Якщо $a=2$, то $\Delta_1=0$ і обидва корені збігаються (дістанемо $f_1(x)=(x+2)^2$ ). Тоді $f_1(x)<0$ не має розв'язків, бо $(x+2)^2 \geq 0$ завжди.
Підсумок для першої нерівності: $$
f_1(x)<0 \Longrightarrow \begin{cases}x \in(-2,-a), & a<2 \\ \varnothing, & a=2 \\ x \in(-a,-2), & a>2\end{cases}
$$ 2) $x^2-x(a-3)-\left(2 a^2+6 a\right) \geq 0$ Тепер розгляньмо $$
f_2(x)=x^2-(a-3) x-\left(2 a^2+6 a\right)
$$
Це теж парабола з додатним старшим коефіцієнтом, отже $f_2(x) \geq 0$ виконується поза проміжком між коренями (або на всій вісі, якщо коренів немає чи вони збігаються і парабола «вище» від осі).
1. Дискримінанта $$
\Delta_2=[-(a-3)]^2-4 \cdot 1 \cdot\left[-\left(2 a^2+6 a\right)\right]=(a-3)^2+4\left(2 a^2+6 a\right)
$$
Розкриваючи дужки, $$
(a-3)^2=a^2-6 a+9, \quad 4\left(2 a^2+6 a\right)=8 a^2+24 a
$$
тому $$
\Delta_2=a^2-6 a+9+8 a^2+24 a=9 a^2+18 a+9=9\left(a^2+2 a+1\right)=9(a+1)^2 \geq 0
$$
Отже реальні корені існують завжди, причому вони збігаються тоді й тільки тоді, коли $a=-1$
2. Корені рівняння $f_2(x)=0$. За формулою $$
x_{1,2}=\frac{(a-3) \pm \sqrt{9(a+1)^2}}{2}=\frac{(a-3) \pm 3|a+1|}{2}
$$
Розгляньмо знак $a+1$ :
- Якщо $a \geq-1$, тоді $|a+1|=a+1$. Звідси $$
\begin{gathered}
x_1=\frac{a-3-3(a+1)}{2}=\frac{a-3-3 a-3}{2}=\frac{-2 a-6}{2}=-a-3 \\
x_2=\frac{a-3+3(a+1)}{2}=\frac{a-3+3 a+3}{2}=\frac{4 a}{2}=2 a
\end{gathered}
$$
При $a>-1$ маємо $-a-3<2 a$, тож парабола $f_2(x) \geq 0$ поза інтервалом ( $-a-$ $3,2 a)$.
Якщо ж $a=-1$, тоді обидва корені збігаються в точці $-(-1)-3=-2$, і виявляється $f_2(x) \equiv(x+2)^2$. Це невід'ємно для всіх $x$, тобто розв'язком $\epsilon$ вся дійсна вісь. Підсумовуючи, $$
a \geq-1 \Longrightarrow\left\{\begin{array}{ll}
x \in \mathbb{R}, & a=-1 \\
x \leq-a-3 \text { або } x \geq 2 a, & a>-1
\end{array} \quad \text { (подвійний корінь) },\right.
$$ - Якщо $a<-1$, тоді $|a+1|=-(a+1)$, тому $$
\begin{gathered}
x_1=\frac{a-3-3(-(a+1))}{2}=\frac{a-3+3 a+3}{2}=\frac{4 a}{2}=2 a \\
x_2=\frac{a-3+3(-(a+1))}{2}=\frac{a-3-3 a-3}{2}=\frac{-2 a-6}{2}=-a-3 .
\end{gathered}
$$
Тепер при $a<-1$ маємо $2 a<-a-3$, тож парабола не менш нуля поза ( $2 a,-a-3$ ), тобто
$$
x \leq 2 a \quad \text { або } \quad x \geq-a-3
$$
Підсумкова відповідь
1. Нерівність $x^2+x(2+a)+2 a<0$ має розв'язки в залежності від $a$ :
- якщо $a<2$, то $\quad x \in(-2,-a)$;
- якщо $a=2$, то розв'язків немає;
- якщо $a>2$, то $\quad x \in(-a,-2)$.
2. Нерівність $x^2-x(a-3)-\left(2 a^2+6 a\right) \geq 0$ виконується:
- для $a>-1$ : $$
x \leq-a-3 \quad \text { або } \quad x \geq 2 a
$$ - для $a=-1$ : розв'язком є вся пряма $\left(f_2(x) \equiv(x+2)^2 \geq 0\right)$,
- для $a<-1$ : $$
x \leq 2 a \quad \text { або } \quad x \geq-a-3
$$
