Вправа 647 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №647.
Умова: Знайдіть усі розв'язки системи рівнянь:
1)

$$\left\{\begin{array}{l} 5 y^2+x^2=29 \\ 2 y^2+x^2=17 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
Віднімемо друге рівняння від першого:

$$\begin{gathered} \left(5 y^2+x^2\right)-\left(2 y^2+x^2\right)=29-17 \\ 3 y^2=12 \Rightarrow y^2=4 \\ y= \pm 2 \end{gathered}$$


Для $y=2$ :

$$\begin{gathered} 2(2)^2+x^2=17 \\ 8+x^2=17 \Rightarrow x^2=9 \\ x= \pm 3 \end{gathered}$$


Для $y=-2$ :

$$x^2=9 \Rightarrow x= \pm 3$$


Відповідь:

$$(3 ; 2),(-3 ; 2),(3 ;-2),(-3 ;-2)$$
2)

$$\left\{\begin{array}{l} x^2+2 y=5 \\ 5 x^2+3 y=39 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
3 першого рівняння:

$$x^2=5-2 y$$


Підставимо у друге рівняння:

$$\begin{gathered} 5(5-2 y)+3 y=39 \\ 25-10 y+3 y=39 \\ 25-7 y=39 \\ -7 y=14 \Rightarrow y=-2 \end{gathered}$$


Знайдемо $x^2$ :

$$\begin{gathered} x^2+2(-2)=5 \\ x^2-4=5 \Rightarrow x^2=9 \\ x= \pm 3 \end{gathered}$$


Відповідь:

$$(3 ;-2),(-3 ;-2)$$
3)

$$\left\{\begin{array}{l} 3 x^2+x y=10 \\ 2 x^2+5 x y=-2 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
Помножимо перше рівняння на 5 і друге на 1:

$$\begin{aligned} & 15 x^2+5 x y=50 \\ & 2 x^2+5 x y=-2 \end{aligned}$$


Віднімемо:

$$\begin{gathered} \left(15 x^2+5 x y\right)-\left(2 x^2+5 x y\right)=50-(-2) \\ 13 x^2=52 \Rightarrow x^2=4 \\ x= \pm 2 \end{gathered}$$


Для $x=2$ :

$$\begin{gathered} 3(2)^2+2 y=10 \\ 12+2 y=10 \Rightarrow 2 y=-2 \\ y=-1 \end{gathered}$$


Для $x=-2$ :

$$\begin{gathered} 3(-2)^2-2 y=10 \\ 12-2 y=10 \Rightarrow 2 y=2 \\ y=1 \end{gathered}$$


Відповідь:

$$(2 ;-1),(-2 ; 1)$$
4)

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{3}{x}+\frac{5}{y}=1 \\ \frac{3}{x}-\frac{5}{y}=0 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
Додаємо рівняння:

$$\begin{gathered} \frac{6}{x}=1 \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{6} \\ x=6 \end{gathered}$$


Віднімемо рівняння:

$$\begin{gathered} \frac{10}{y}=1 \Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{10} \\ y=10 \end{gathered}$$


Відповідь:

$$(6 ; 10)$$


Загальний підсумок:
1. $(3 ; 2),(-3 ; 2),(3 ;-2),(-3 ;-2)$
2. $(3 ;-2),(-3 ;-2)$
3. $(2 ;-1),(-2 ; 1)$
4. $(6 ; 10)$.