Вправа 649 алгебра Істер гдз 9 клас

$$\left\{\begin{array}{l} x y-x-2 y=7 \\ 3 x y-x-3 y=13 \end{array}\right.$$


зручно звести до двохрівняння у змінних $x$ і $y$. Віднявши з 3-кратного першого рівняння друге,
дістаємо:

$$(3 x y-3 x-6 y)-(3 x y-x-3 y)=21-13 \quad \Longrightarrow \quad-2 x-3 y=8 \quad \Longrightarrow 2 x+3 y=-8 (А)$$


Також, віднявши перше рівняння з другого, маємо

$$(3 x y-x-3 y)-(x y-x-2 y)=13-7 \quad \Longrightarrow \quad 2 x y-y=6 \quad \Longrightarrow \quad y(2 x-1)=6  (В)$$


3 (A) виразимо $y$ :

$$3 y=-8-2 x \quad \Longrightarrow \quad y=\frac{-8-2 x}{3}$$


і підставимо в (B):

$$\left(\frac{8-2 x}{3}\right)(2 x-1)=6$$


Помноживши обидві частини на 3, дістанемо:

$$(-8-2 x)(2 x-1)=18$$


Розкриваємо дужки:

$$-8(2 x-1)=-16 x+8, \quad-2 x(2 x-1)=-4 x^2+2 x$$


тож

$$-4 x^2-14 x+8=18 \quad \Longrightarrow \quad-4 x^2-14 x-10=0 \quad \Longrightarrow \quad 4 x^2+14 x+10=0$$


Це рівняння легко розкладається:
Це рівняння легко розкладається:

$$4 x^2+14 x+10=(2 x+5)(2 x+2)=0 \Longrightarrow x=-\frac{5}{2} \quad \text { або } \quad x=-1$$

- Якщо $x=-\frac{5}{2}$, то з (А) $2 \cdot\left(-\frac{5}{2}\right)+3 y=-8$ дає $-5+3 y=-8$, отже $3 y=-3$, звідки $y=-1$.
- Якщо $x=-1$, то $-2+3 y=-8$, тобто $3 y=-6$, звідки $y=-2$.

Перевірка в початкових рівняннях показує, що обидві пари задовольняють систему.
Отже, система (1) має два розв'язки:

$$(x, y)=\left(-\frac{5}{2},-1\right) \quad \text { або } \quad(x, y)=(-1,-2)$$

2) Система

$$\left\{\begin{array}{l} x^2-x y=6 \\ y^2-x y=-2 \end{array}\right.$$


зручна тим, що віднімання чи додавання дає вирази з $x^2-y^2$ або $(x-y)^2$.
- Віднявши друге рівняння з першого, дістаємо

$$\left(x^2-x y\right)-\left(y^2-x y\right)=6-(-2) \quad \Longrightarrow \quad x^2-y^2=8$$


тобто

$$(x-y)(x+y)=8$$
- Додавши ж обидва рівняння,

$$\left(x^2-x y\right)+\left(y^2-x y\right)=6+(-2)=4$$


маємо

$$x^2+y^2-2 x y=4$$


а це $(x-y)^2=4.3$ відси

$$x-y= \pm 2$$


Розгляньмо (B) по черзі:
1. $x-y=2$. Тоді $y=x-2$. Підставляємо в (А):

$$(x-(x-2))(x+(x-2))=8 \quad \Longrightarrow \quad(2)(2 x-2)=8$$


тобто $4(x-1)=8$, звідки $x-1=2, x=3$. Тоді $y=3-2=1$.
2. $x-y=-2$. Тоді $y=x+2.3$ (A):

$$\begin{gathered} (x-(x+2))(x+(x+2))=8 \quad \Longrightarrow \quad(-2)(2 x+2)=8, \\ \text { тобто }-4(x+1)=8, \text { звідки } x+1=-2, x=-3 . \text { Тоді } y=-3+2=-1 . \end{gathered}$$


Остаточно перевірка підтверджує розв'язки:

$$(x, y)=(3,1) \quad \text { або } \quad(x, y)=(-3,-1)$$