Вправа 649 алгебра Істер гдз 9 клас
$$
\left\{\begin{array}{l}
x y-x-2 y=7 \\
3 x y-x-3 y=13
\end{array}\right.
$$
зручно звести до двохрівняння у змінних $x$ і $y$. Віднявши з 3-кратного першого рівняння друге,
дістаємо: $$
(3 x y-3 x-6 y)-(3 x y-x-3 y)=21-13 \quad \Longrightarrow \quad-2 x-3 y=8 \quad \Longrightarrow 2 x+3 y=-8 (А)
$$
Також, віднявши перше рівняння з другого, маємо $$
(3 x y-x-3 y)-(x y-x-2 y)=13-7 \quad \Longrightarrow \quad 2 x y-y=6 \quad \Longrightarrow \quad y(2 x-1)=6 (В)
$$
3 (A) виразимо $y$ : $$
3 y=-8-2 x \quad \Longrightarrow \quad y=\frac{-8-2 x}{3}
$$
і підставимо в (B): $$
\left(\frac{8-2 x}{3}\right)(2 x-1)=6
$$
Помноживши обидві частини на 3, дістанемо: $$
(-8-2 x)(2 x-1)=18
$$
Розкриваємо дужки: $$
-8(2 x-1)=-16 x+8, \quad-2 x(2 x-1)=-4 x^2+2 x
$$
тож $$
-4 x^2-14 x+8=18 \quad \Longrightarrow \quad-4 x^2-14 x-10=0 \quad \Longrightarrow \quad 4 x^2+14 x+10=0
$$
Це рівняння легко розкладається:
Це рівняння легко розкладається: $$
4 x^2+14 x+10=(2 x+5)(2 x+2)=0 \Longrightarrow x=-\frac{5}{2} \quad \text { або } \quad x=-1
$$ - Якщо $x=-\frac{5}{2}$, то з (А) $2 \cdot\left(-\frac{5}{2}\right)+3 y=-8$ дає $-5+3 y=-8$, отже $3 y=-3$, звідки $y=-1$.
- Якщо $x=-1$, то $-2+3 y=-8$, тобто $3 y=-6$, звідки $y=-2$. Перевірка в початкових рівняннях показує, що обидві пари задовольняють систему.
Отже, система (1) має два розв'язки: $$
(x, y)=\left(-\frac{5}{2},-1\right) \quad \text { або } \quad(x, y)=(-1,-2)
$$ 2) Система $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2-x y=6 \\
y^2-x y=-2
\end{array}\right.
$$
зручна тим, що віднімання чи додавання дає вирази з $x^2-y^2$ або $(x-y)^2$.
- Віднявши друге рівняння з першого, дістаємо $$
\left(x^2-x y\right)-\left(y^2-x y\right)=6-(-2) \quad \Longrightarrow \quad x^2-y^2=8
$$
тобто $$
(x-y)(x+y)=8
$$
- Додавши ж обидва рівняння, $$
\left(x^2-x y\right)+\left(y^2-x y\right)=6+(-2)=4
$$
маємо $$
x^2+y^2-2 x y=4
$$
а це $(x-y)^2=4.3$ відси $$
x-y= \pm 2
$$
Розгляньмо (B) по черзі:
1. $x-y=2$. Тоді $y=x-2$. Підставляємо в (А): $$
(x-(x-2))(x+(x-2))=8 \quad \Longrightarrow \quad(2)(2 x-2)=8
$$
тобто $4(x-1)=8$, звідки $x-1=2, x=3$. Тоді $y=3-2=1$.
2. $x-y=-2$. Тоді $y=x+2.3$ (A): $$
\begin{gathered}
(x-(x+2))(x+(x+2))=8 \quad \Longrightarrow \quad(-2)(2 x+2)=8, \\
\text { тобто }-4(x+1)=8, \text { звідки } x+1=-2, x=-3 . \text { Тоді } y=-3+2=-1 .
\end{gathered}
$$
Остаточно перевірка підтверджує розв'язки: $$
(x, y)=(3,1) \quad \text { або } \quad(x, y)=(-3,-1)
$$
\left\{\begin{array}{l}
x y-x-2 y=7 \\
3 x y-x-3 y=13
\end{array}\right.
$$
зручно звести до двохрівняння у змінних $x$ і $y$. Віднявши з 3-кратного першого рівняння друге,
дістаємо: $$
(3 x y-3 x-6 y)-(3 x y-x-3 y)=21-13 \quad \Longrightarrow \quad-2 x-3 y=8 \quad \Longrightarrow 2 x+3 y=-8 (А)
$$
Також, віднявши перше рівняння з другого, маємо $$
(3 x y-x-3 y)-(x y-x-2 y)=13-7 \quad \Longrightarrow \quad 2 x y-y=6 \quad \Longrightarrow \quad y(2 x-1)=6 (В)
$$
3 (A) виразимо $y$ : $$
3 y=-8-2 x \quad \Longrightarrow \quad y=\frac{-8-2 x}{3}
$$
і підставимо в (B): $$
\left(\frac{8-2 x}{3}\right)(2 x-1)=6
$$
Помноживши обидві частини на 3, дістанемо: $$
(-8-2 x)(2 x-1)=18
$$
Розкриваємо дужки: $$
-8(2 x-1)=-16 x+8, \quad-2 x(2 x-1)=-4 x^2+2 x
$$
тож $$
-4 x^2-14 x+8=18 \quad \Longrightarrow \quad-4 x^2-14 x-10=0 \quad \Longrightarrow \quad 4 x^2+14 x+10=0
$$
Це рівняння легко розкладається:
Це рівняння легко розкладається: $$
4 x^2+14 x+10=(2 x+5)(2 x+2)=0 \Longrightarrow x=-\frac{5}{2} \quad \text { або } \quad x=-1
$$ - Якщо $x=-\frac{5}{2}$, то з (А) $2 \cdot\left(-\frac{5}{2}\right)+3 y=-8$ дає $-5+3 y=-8$, отже $3 y=-3$, звідки $y=-1$.
- Якщо $x=-1$, то $-2+3 y=-8$, тобто $3 y=-6$, звідки $y=-2$. Перевірка в початкових рівняннях показує, що обидві пари задовольняють систему.
Отже, система (1) має два розв'язки: $$
(x, y)=\left(-\frac{5}{2},-1\right) \quad \text { або } \quad(x, y)=(-1,-2)
$$ 2) Система $$
\left\{\begin{array}{l}
x^2-x y=6 \\
y^2-x y=-2
\end{array}\right.
$$
зручна тим, що віднімання чи додавання дає вирази з $x^2-y^2$ або $(x-y)^2$.
- Віднявши друге рівняння з першого, дістаємо $$
\left(x^2-x y\right)-\left(y^2-x y\right)=6-(-2) \quad \Longrightarrow \quad x^2-y^2=8
$$
тобто $$
(x-y)(x+y)=8
$$
- Додавши ж обидва рівняння, $$
\left(x^2-x y\right)+\left(y^2-x y\right)=6+(-2)=4
$$
маємо $$
x^2+y^2-2 x y=4
$$
а це $(x-y)^2=4.3$ відси $$
x-y= \pm 2
$$
Розгляньмо (B) по черзі:
1. $x-y=2$. Тоді $y=x-2$. Підставляємо в (А): $$
(x-(x-2))(x+(x-2))=8 \quad \Longrightarrow \quad(2)(2 x-2)=8
$$
тобто $4(x-1)=8$, звідки $x-1=2, x=3$. Тоді $y=3-2=1$.
2. $x-y=-2$. Тоді $y=x+2.3$ (A): $$
\begin{gathered}
(x-(x+2))(x+(x+2))=8 \quad \Longrightarrow \quad(-2)(2 x+2)=8, \\
\text { тобто }-4(x+1)=8, \text { звідки } x+1=-2, x=-3 . \text { Тоді } y=-3+2=-1 .
\end{gathered}
$$
Остаточно перевірка підтверджує розв'язки: $$
(x, y)=(3,1) \quad \text { або } \quad(x, y)=(-3,-1)
$$
