Вправа 650 алгебра Істер гдз 9 клас
Задача №650.
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:
1) $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y+\frac{x}{y}=11 \\
\frac{x}{y}(x+y)=24
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Позначимо: $$
z=\frac{x}{y}
$$
Перше рівняння: $$
x+y+z=11
$$
Звідси: $$
x+y=11-z
$$
Друге рівняння: $$
\begin{gathered}
z(11-z)=24 \\
11 z-z^2=24 \\
z^2-11 z+24=0
\end{gathered}
$$ Розв'яжемо квадратне рівняння:
$$
\begin{gathered}
z=\frac{11 \pm \sqrt{11^2-4(1)(24)}}{2(1)}=\frac{11 \pm \sqrt{121-96}}{2} . \\
z=\frac{11 \pm \sqrt{25}}{2} . \\
z=\frac{11 \pm 5}{2} . \\
z=8 \text { aб० } z=3 .
\end{gathered}
$$
Випадок 1: $z=8$ : $$
\begin{gathered}
x+y=11-8=3 . \\
\frac{x}{y}=8 \Rightarrow x=8 y . \\
8 y+y=3 \Rightarrow 9 y=3 \Rightarrow y=\frac{1}{3} . \\
x=8 \cdot \frac{1}{3}=\frac{8}{3}
\end{gathered}
$$
Випадок 2: $z=3$ : $$
\begin{gathered}
x+y=11-3=8 \\
\frac{x}{y}=3 \Rightarrow x=3 y \\
3 y+y=8 \Rightarrow 4 y=8 \Rightarrow y=2 \\
x=3(2)=6
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
\left(\frac{8}{3} ; \frac{1}{3}\right),(6 ; 2)
$$
2)
Розв'яжемо систему $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x+3 y}{x-y}-\frac{x-y}{x+3 y}=\frac{24}{5} \\
5 x+8 y=18
\end{array}\right.
$$ 1) Упорядкуємо перше рівняння. Спільний знаменник $-(x-y)(x+3 y)$, тож $$
\frac{x+3 y}{x-y}-\frac{x-y}{x+3 y}=\frac{(x+3 y)^2-(x-y)^2}{(x-y)(x+3 y)}
$$
Легко перевірити: $$
(x+3 y)^2-(x-y)^2=8 y(x+y)
$$
Отже перше рівняння стає $$
\frac{8 y(x+y)}{(x-y)(x+3 y)}=\frac{24}{5}
$$
або після скорочення на 8 $$
\frac{y(x+y)}{(x-y)(x+3 y)}=\frac{3}{5}
$$
Перенісши знаменник ліворуч, дістанемо $$
5 y(x+y)=3(x-y)(x+3 y)
$$
Розкриваємо дужки: $$
5 x y+5 y^2=3\left(x^2+3 x y-x y-3 y^2\right)=3 x^2+6 x y-9 y^2
$$
Переносимо все в одну частину: $$
0=3 x^2+6 x y-9 y^2-\left(5 x y+5 y^2\right)=3 x^2+x y-14 y^2
$$
Таким чином одержали рівняння $$
\left(1^{\prime}\right) \quad 3 x^2+x y-14 y^2=0
$$ 2) Використаємо друге рівняння $5 x+8 y=18$. 3 нього виражаємо $x$ у термінах $y$ : $$
x=\frac{18-8 y}{5}
$$
Підставимо це у ( $1^{\prime}$ ). Щоб позбутися знаменників, помножимо на 25 . Після розкриття дужок виходить зручна для зведення до стандартного вигляду форма. Зрештою дістаємо квадратне рівняння по $y$ : $$
33 y^2+129 y-162=0
$$
яке згортається в $$
3\left(11 y^2+43 y-54\right)=0 \quad \Longrightarrow \quad(11 y+54)(y-1)=0
$$
Звідси два можливі значення: $$
y=1 \quad \text { або } \quad y=-\frac{54}{11}
$$ - Якщо $y=1$, тоді з $5 x+8 y=18$ одержуємо $5 x+8=18$, тобто $x=2$.
- Якщо $y=-\frac{54}{11}$, тоді $5 x-\frac{432}{11}=18$. Помноживши на 11 , дістаємо $55 x-432=198$, тобто $55 x=630$, отже $x=\frac{126}{11}$. Швидка перевірка підтверджує, що обидві пари $(x, y)$ задовольняють початкове дробове рівняння.
$$
\begin{aligned}
&\text { Відповідь. Система має два розв'язки: }\\
&(x, y)=(2,1) \quad \text { або } \quad\left(\frac{126}{11},-\frac{54}{11}\right)
\end{aligned}
$$
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:
1) $$
\left\{\begin{array}{l}
x+y+\frac{x}{y}=11 \\
\frac{x}{y}(x+y)=24
\end{array}\right.
$$
Розв'язання:
1. Позначимо: $$
z=\frac{x}{y}
$$
Перше рівняння: $$
x+y+z=11
$$
Звідси: $$
x+y=11-z
$$
Друге рівняння: $$
\begin{gathered}
z(11-z)=24 \\
11 z-z^2=24 \\
z^2-11 z+24=0
\end{gathered}
$$ Розв'яжемо квадратне рівняння:
$$
\begin{gathered}
z=\frac{11 \pm \sqrt{11^2-4(1)(24)}}{2(1)}=\frac{11 \pm \sqrt{121-96}}{2} . \\
z=\frac{11 \pm \sqrt{25}}{2} . \\
z=\frac{11 \pm 5}{2} . \\
z=8 \text { aб० } z=3 .
\end{gathered}
$$
Випадок 1: $z=8$ : $$
\begin{gathered}
x+y=11-8=3 . \\
\frac{x}{y}=8 \Rightarrow x=8 y . \\
8 y+y=3 \Rightarrow 9 y=3 \Rightarrow y=\frac{1}{3} . \\
x=8 \cdot \frac{1}{3}=\frac{8}{3}
\end{gathered}
$$
Випадок 2: $z=3$ : $$
\begin{gathered}
x+y=11-3=8 \\
\frac{x}{y}=3 \Rightarrow x=3 y \\
3 y+y=8 \Rightarrow 4 y=8 \Rightarrow y=2 \\
x=3(2)=6
\end{gathered}
$$
Відповідь: $$
\left(\frac{8}{3} ; \frac{1}{3}\right),(6 ; 2)
$$
2)
Розв'яжемо систему $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x+3 y}{x-y}-\frac{x-y}{x+3 y}=\frac{24}{5} \\
5 x+8 y=18
\end{array}\right.
$$ 1) Упорядкуємо перше рівняння. Спільний знаменник $-(x-y)(x+3 y)$, тож $$
\frac{x+3 y}{x-y}-\frac{x-y}{x+3 y}=\frac{(x+3 y)^2-(x-y)^2}{(x-y)(x+3 y)}
$$
Легко перевірити: $$
(x+3 y)^2-(x-y)^2=8 y(x+y)
$$
Отже перше рівняння стає $$
\frac{8 y(x+y)}{(x-y)(x+3 y)}=\frac{24}{5}
$$
або після скорочення на 8 $$
\frac{y(x+y)}{(x-y)(x+3 y)}=\frac{3}{5}
$$
Перенісши знаменник ліворуч, дістанемо $$
5 y(x+y)=3(x-y)(x+3 y)
$$
Розкриваємо дужки: $$
5 x y+5 y^2=3\left(x^2+3 x y-x y-3 y^2\right)=3 x^2+6 x y-9 y^2
$$
Переносимо все в одну частину: $$
0=3 x^2+6 x y-9 y^2-\left(5 x y+5 y^2\right)=3 x^2+x y-14 y^2
$$
Таким чином одержали рівняння $$
\left(1^{\prime}\right) \quad 3 x^2+x y-14 y^2=0
$$ 2) Використаємо друге рівняння $5 x+8 y=18$. 3 нього виражаємо $x$ у термінах $y$ : $$
x=\frac{18-8 y}{5}
$$
Підставимо це у ( $1^{\prime}$ ). Щоб позбутися знаменників, помножимо на 25 . Після розкриття дужок виходить зручна для зведення до стандартного вигляду форма. Зрештою дістаємо квадратне рівняння по $y$ : $$
33 y^2+129 y-162=0
$$
яке згортається в $$
3\left(11 y^2+43 y-54\right)=0 \quad \Longrightarrow \quad(11 y+54)(y-1)=0
$$
Звідси два можливі значення: $$
y=1 \quad \text { або } \quad y=-\frac{54}{11}
$$ - Якщо $y=1$, тоді з $5 x+8 y=18$ одержуємо $5 x+8=18$, тобто $x=2$.
- Якщо $y=-\frac{54}{11}$, тоді $5 x-\frac{432}{11}=18$. Помноживши на 11 , дістаємо $55 x-432=198$, тобто $55 x=630$, отже $x=\frac{126}{11}$. Швидка перевірка підтверджує, що обидві пари $(x, y)$ задовольняють початкове дробове рівняння.
$$
\begin{aligned}
&\text { Відповідь. Система має два розв'язки: }\\
&(x, y)=(2,1) \quad \text { або } \quad\left(\frac{126}{11},-\frac{54}{11}\right)
\end{aligned}
$$
