Вправа 650 алгебра Істер гдз 9 клас

Задача №650.
Умова: Розв'яжіть систему рівнянь:
1)

$$\left\{\begin{array}{l} x+y+\frac{x}{y}=11 \\ \frac{x}{y}(x+y)=24 \end{array}\right.$$


Розв'язання:
1. Позначимо:

$$z=\frac{x}{y}$$


Перше рівняння:

$$x+y+z=11$$


Звідси:

$$x+y=11-z$$


Друге рівняння:

$$\begin{gathered} z(11-z)=24 \\ 11 z-z^2=24 \\ z^2-11 z+24=0 \end{gathered}$$

Розв'яжемо квадратне рівняння:
$$\begin{gathered} z=\frac{11 \pm \sqrt{11^2-4(1)(24)}}{2(1)}=\frac{11 \pm \sqrt{121-96}}{2} . \\ z=\frac{11 \pm \sqrt{25}}{2} . \\ z=\frac{11 \pm 5}{2} . \\ z=8 \text { aб० } z=3 . \end{gathered}$$


Випадок 1: $z=8$ :

$$\begin{gathered} x+y=11-8=3 . \\ \frac{x}{y}=8 \Rightarrow x=8 y . \\ 8 y+y=3 \Rightarrow 9 y=3 \Rightarrow y=\frac{1}{3} . \\ x=8 \cdot \frac{1}{3}=\frac{8}{3} \end{gathered}$$


Випадок 2: $z=3$ :

$$\begin{gathered} x+y=11-3=8 \\ \frac{x}{y}=3 \Rightarrow x=3 y \\ 3 y+y=8 \Rightarrow 4 y=8 \Rightarrow y=2 \\ x=3(2)=6 \end{gathered}$$


Відповідь:

$$\left(\frac{8}{3} ; \frac{1}{3}\right),(6 ; 2)$$
2)
Розв'яжемо систему

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{x+3 y}{x-y}-\frac{x-y}{x+3 y}=\frac{24}{5} \\ 5 x+8 y=18 \end{array}\right.$$

1) Упорядкуємо перше рівняння. Спільний знаменник $-(x-y)(x+3 y)$, тож

$$\frac{x+3 y}{x-y}-\frac{x-y}{x+3 y}=\frac{(x+3 y)^2-(x-y)^2}{(x-y)(x+3 y)}$$


Легко перевірити:

$$(x+3 y)^2-(x-y)^2=8 y(x+y)$$


Отже перше рівняння стає

$$\frac{8 y(x+y)}{(x-y)(x+3 y)}=\frac{24}{5}$$


або після скорочення на 8

$$\frac{y(x+y)}{(x-y)(x+3 y)}=\frac{3}{5}$$


Перенісши знаменник ліворуч, дістанемо

$$5 y(x+y)=3(x-y)(x+3 y)$$


Розкриваємо дужки:

$$5 x y+5 y^2=3\left(x^2+3 x y-x y-3 y^2\right)=3 x^2+6 x y-9 y^2$$


Переносимо все в одну частину:

$$0=3 x^2+6 x y-9 y^2-\left(5 x y+5 y^2\right)=3 x^2+x y-14 y^2$$
Таким чином одержали рівняння

$$\left(1^{\prime}\right) \quad 3 x^2+x y-14 y^2=0$$

2) Використаємо друге рівняння $5 x+8 y=18$. 3 нього виражаємо $x$ у термінах $y$ :

$$x=\frac{18-8 y}{5}$$


Підставимо це у ( $1^{\prime}$ ). Щоб позбутися знаменників, помножимо на 25 . Після розкриття дужок виходить зручна для зведення до стандартного вигляду форма. Зрештою дістаємо квадратне рівняння по $y$ :

$$33 y^2+129 y-162=0$$


яке згортається в

$$3\left(11 y^2+43 y-54\right)=0 \quad \Longrightarrow \quad(11 y+54)(y-1)=0$$


Звідси два можливі значення:

$$y=1 \quad \text { або } \quad y=-\frac{54}{11}$$

- Якщо $y=1$, тоді з $5 x+8 y=18$ одержуємо $5 x+8=18$, тобто $x=2$.
- Якщо $y=-\frac{54}{11}$, тоді $5 x-\frac{432}{11}=18$. Помноживши на 11 , дістаємо $55 x-432=198$, тобто $55 x=630$, отже $x=\frac{126}{11}$.

Швидка перевірка підтверджує, що обидві пари $(x, y)$ задовольняють початкове дробове рівняння.
$$\begin{aligned} &\text { Відповідь. Система має два розв'язки: }\\ &(x, y)=(2,1) \quad \text { або } \quad\left(\frac{126}{11},-\frac{54}{11}\right) \end{aligned}$$