Завдання 73 (Задачі підвищеної складності. До розділу 3) — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Нехай $b$, $bq$, $bq^2$ — три числа, що утворюють геометричну прогресію.

За умовою їхня сума дорівнює 91:

$b + bq + bq^2 = 91$.

$b(1 + q + q^2) = 91$.

Після додавання заданих чисел отримаємо послідовність $b + 25$, $bq + 27$, $bq^2 + 1$, яка є арифметичною прогресією. Використаємо її властивість:

$(b + 25) + (bq^2 + 1) = 2(bq + 27)$.

$b + bq^2 + 26 = 2bq + 54$.

$b - 2bq + bq^2 = 28$.

$b(1 - q)^2 = 28$.

Маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} b(1 + q + q^2) = 91 \\ b(1 - q)^2 = 28 \end{cases}$

Поділимо перше рівняння на друге ($q \ne 1$, інакше матимемо $b \cdot 0 = 28$ — хибно):

$\dfrac{1 + q + q^2}{(1 - q)^2} = \dfrac{91}{28}$.

$\dfrac{1 + q + q^2}{1 - 2q + q^2} = \dfrac{13}{4}$.

$4(1 + q + q^2) = 13(1 - 2q + q^2)$.

$4 + 4q + 4q^2 = 13 - 26q + 13q^2$.

$9q^2 - 30q + 9 = 0$.

$3q^2 - 10q + 3 = 0$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

$q_{1,2} = \dfrac{10 \pm 8}{6}$.

$q_1 = 3$, $q_2 = \dfrac{1}{3}$.

Знайдемо перший член $b_1 = b$ для кожного випадку:

1) Якщо $q = 3$, то $b(1 - 3)^2 = 28 \implies 4b = 28 \implies b = 7$.

Тоді сьомий член прогресії: $b_7 = b_1 q^6 = 7 \cdot 3^6 = 7 \cdot 729 = 5103$.

2) Якщо $q = \dfrac{1}{3}$, то $b\left(1 - \dfrac{1}{3}\right)^2 = 28 \implies b \cdot \dfrac{4}{9} = 28 \implies b = 63$.

Тоді сьомий член прогресії: $b_7 = b_1 q^6 = 63 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^6 = \dfrac{63}{729} = \dfrac{7}{81}$.