Вправа 1.11 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.11. Укажіть серед даних нерівностей ті, що є правильними за будь-якого значення $x$:
- $x^2 > 0$;
- $x^2 \geqslant 0$;
- $x + 1 > 0$;
- $x^2 + 1 > 0$;
- $(x - 3)^2 \geqslant 0$;
- $(x + 4)^2 > 0$;
- $x > -x$;
- $-x \leqslant x$.
1) $x^2 > 0$
При $x = 0$: $0^2 = 0 \not> 0$. Неправильна.
2) $x^2 \geqslant 0$
Квадрат будь-якого числа невід'ємний. Правильна.
3) $x + 1 > 0$
При $x = -2$: $-2 + 1 = -1 \not> 0$. Неправильна.
4) $x^2 + 1 > 0$
$x^2 \geqslant 0$, тому $x^2 + 1 \geqslant 1 > 0$ для будь-якого $x$. Правильна.
5) $(x - 3)^2 \geqslant 0$
Квадрат будь-якого числа невід'ємний. Правильна.
6) $(x + 4)^2 > 0$
При $x = -4$: $(−4+4)^2 = 0 \not> 0$. Неправильна.
7) $x > -x$
$x > -x \Leftrightarrow 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0$. При $x = 0$: $0 \not> 0$. Неправильна.
8) $-x \leqslant x$
$-x \leqslant x \Leftrightarrow 0 \leqslant 2x \Leftrightarrow x \geqslant 0$. При $x = -1$: $1 \leqslant -1$ — хибно. Неправильна.
Властивості квадрата
$a^2 \geqslant 0$ для будь-якого $a$ (квадрат завжди невід'ємний).
$a^2 = 0 \Leftrightarrow a = 0$; $a^2 > 0 \Leftrightarrow a \neq 0$.
Тотожно правильна нерівність
Нерівність правильна за будь-якого значення змінної, якщо вона виконується при підстановці будь-якого числа, у тому числі при $x = 0$, $x = -1$, $x = 100$ тощо.
Щоб довести, що нерівність не є тотожно правильною, достатньо знайти одне значення $x$, при якому вона хибна.
Головний інструмент перевірки — підстановка $x = 0$. Це миттєво відсіює 1), 7) і перевіряє більшість інших. Для (6) потрібне $x = -4$ (нуль квадрата), для (3) — будь-яке $x < -1$.
Чому 1) неправильна, а 2) правильна. $x^2 \geqslant 0$ — нестрога нерівність, вона дозволяє рівність. $x^2 > 0$ — строга, вона вимагає ненульовості. При $x=0$ квадрат дорівнює нулю, тому строга нерівність порушується.
Пункт 4 — найнадійніший. $x^2 + 1$: мінімум при $x=0$ дорівнює $1$. Тобто вираз завжди $\geqslant 1 > 0$. Строга нерівність виконується завжди — бо навіть мінімум уже більший за нуль.
Пункти 7 і 8 — перетворюй нерівність. $x > -x$ ↔ $2x > 0$ ↔ $x > 0$ — це правда лише для додатних $x$, не для всіх. Аналогічно $-x \leqslant x$ ↔ $x \geqslant 0$ — хибна для від'ємних.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.