Вправа 1.11 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 1.11. Укажіть серед даних нерівностей ті, що є правильними за будь-якого значення $x$ :

$x^2 > 0$ ;
$x^2 \geqslant 0$ ;
$x + 1 > 0$ ;
$x^2 + 1 > 0$ ;
$(x - 3)^2 \geqslant 0$ ;
$(x + 4)^2 > 0$ ;
$x > -x$ ;
$-x \leqslant x$ .

Розв'язання

1) $x^2 > 0$

При $x = 0$ : $0^2 = 0 \not> 0$ . Неправильна.

2) $x^2 \geqslant 0$

Квадрат будь-якого числа невід'ємний. Правильна.

3) $x + 1 > 0$

При $x = -2$ : $-2 + 1 = -1 \not> 0$ . Неправильна.

4) $x^2 + 1 > 0$

$x^2 \geqslant 0$ , тому $x^2 + 1 \geqslant 1 > 0$ для будь-якого $x$ . Правильна.

5) $(x - 3)^2 \geqslant 0$

Квадрат будь-якого числа невід'ємний. Правильна.

6) $(x + 4)^2 > 0$

При $x = -4$ : $(−4+4)^2 = 0 \not> 0$ . Неправильна.

7) $x > -x$

$x > -x \Leftrightarrow 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0$ . При $x = 0$ : $0 \not> 0$ . Неправильна.

8) $-x \leqslant x$

$-x \leqslant x \Leftrightarrow 0 \leqslant 2x \Leftrightarrow x \geqslant 0$ . При $x = -1$ : $1 \leqslant -1$ — хибно. Неправильна.

Відповідь

Правильні за будь-якого

x

: 2), 4), 5).

Властивості квадрата

$a^2 \geqslant 0$ для будь-якого $a$ (квадрат завжди невід'ємний).

$a^2 = 0 \Leftrightarrow a = 0$ ; $a^2 > 0 \Leftrightarrow a \neq 0$ .

Тотожно правильна нерівність

Нерівність правильна за будь-якого значення змінної, якщо вона виконується при підстановці будь-якого числа, у тому числі при $x = 0$ , $x = -1$ , $x = 100$ тощо.

Щоб довести, що нерівність не є тотожно правильною, достатньо знайти одне значення $x$ , при якому вона хибна.

Головний інструмент перевірки — підстановка $x = 0$ . Це миттєво відсіює 1), 7) і перевіряє більшість інших. Для (6) потрібне $x = -4$ (нуль квадрата), для (3) — будь-яке $x < -1$ .

Чому 1) неправильна, а 2) правильна. $x^2 \geqslant 0$ — нестрога нерівність, вона дозволяє рівність. $x^2 > 0$ — строга, вона вимагає ненульовості. При $x=0$ квадрат дорівнює нулю, тому строга нерівність порушується.

Пункт 4 — найнадійніший. $x^2 + 1$ : мінімум при $x=0$ дорівнює $1$ . Тобто вираз завжди $\geqslant 1 > 0$ . Строга нерівність виконується завжди — бо навіть мінімум уже більший за нуль.

Пункти 7 і 8 — перетворюй нерівність. $x > -x$ ↔ $2x > 0$ ↔ $x > 0$ — це правда лише для додатних $x$ , не для всіх. Аналогічно $-x \leqslant x$ ↔ $x \geqslant 0$ — хибна для від'ємних.