Вправа 1.12 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.12. Доведіть нерівність:
- $3m + 5 > 3(m - 1)$;
- $p(p - 2) < p^2 - 2p + 7$;
- $(a + 1)(a - 1) < a^2$;
- $x(x + 2) > 2x - 1$.
Доводимо кожну нерівність, обчислюючи різницю правої і лівої частин і показуючи, що вона позитивна (або негативна).
1) $3m + 5 > 3(m - 1)$
$3(m-1) - (3m+5) = 3m - 3 - 3m - 5 = -8 < 0$,
отже $3m + 5 > 3(m-1)$. ∎
2) $p(p - 2) < p^2 - 2p + 7$
$(p^2 - 2p + 7) - p(p-2) = p^2 - 2p + 7 - p^2 + 2p = 7 > 0$,
отже $p(p-2) < p^2 - 2p + 7$. ∎
3) $(a + 1)(a - 1) < a^2$
$a^2 - (a+1)(a-1) = a^2 - (a^2 - 1) = 1 > 0$,
отже $(a+1)(a-1) < a^2$. ∎
4) $x(x + 2) > 2x - 1$
$x(x+2) - (2x-1) = x^2 + 2x - 2x + 1 = x^2 + 1 \geqslant 1 > 0$,
отже $x(x+2) > 2x - 1$. ∎
Метод різниць для доведення нерівностей
Щоб довести $A > B$, достатньо показати, що $A - B > 0$.
Щоб довести $A < B$, достатньо показати, що $B - A > 0$.
Різниця квадратів
$(a+1)(a-1) = a^2 - 1$.
Властивість квадрата
$x^2 \geqslant 0$ для будь-якого $x$, тому $x^2 + 1 \geqslant 1 > 0$.
Єдиний прийом для всіх чотирьох підпунктів — обчислити різницю частин і спростити. Якщо різниця зводиться до константи (8, 7, 1) або до виразу виду $x^2 + \text{const}$ — знак очевидний.
Пункт 3 — різниця квадратів. $(a+1)(a-1) = a^2 - 1$, тому $a^2 - (a^2-1) = 1$. Без формули розкладання довелося б розкривати дужки довше.
Пункт 4 — найцікавіший. Різниця $x^2+1$ залежить від $x$, але завжди додатна, бо $x^2 \geqslant 0$. Це і є ключовий аргумент доведення.
Знак ∎ (або «що і треба було довести») ставиться в кінці доведення — це стандарт математичного запису.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.