Вправа 1.13 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.13. Доведіть нерівність:
- $2a - 3 < 2(a - 1)$;
- $c(c + 2) > c^2 + 2c - 3$;
- $(x + 2)(x - 2) + 5 > x^2$;
- $3m - 2 < m(m + 3)$.
1) $2a - 3 < 2(a - 1)$
$2(a-1) - (2a-3) = 2a - 2 - 2a + 3 = 1 > 0$,
отже $2a - 3 < 2(a-1)$. ∎
2) $c(c + 2) > c^2 + 2c - 3$
$c(c+2) - (c^2+2c-3) = c^2 + 2c - c^2 - 2c + 3 = 3 > 0$,
отже $c(c+2) > c^2 + 2c - 3$. ∎
3) $(x + 2)(x - 2) + 5 > x^2$
$(x+2)(x-2)+5 - x^2 = (x^2 - 4) + 5 - x^2 = 1 > 0$,
отже $(x+2)(x-2) + 5 > x^2$. ∎
4) $3m - 2 < m(m + 3)$
$m(m+3) - (3m-2) = m^2 + 3m - 3m + 2 = m^2 + 2$.
$m^2 \geqslant 0$, тому $m^2 + 2 \geqslant 2 > 0$,
отже $3m - 2 < m(m+3)$. ∎
Метод різниць
Щоб довести $A > B$: показати $A - B > 0$.
Щоб довести $A < B$: показати $B - A > 0$.
Різниця квадратів
$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$.
Властивість квадрата
$m^2 \geqslant 0$, тому $m^2 + 2 \geqslant 2 > 0$.
Вправа аналогічна до 1.12. Прийом той самий: різниця частин. Пункти 1–3 зводяться до константи (1, 3, 1), пункт 4 — до $m^2 + 2$.
Пункт 3 — різниця квадратів прискорює обчислення. $(x+2)(x-2) = x^2-4$ одразу, без розкривання кожної дужки окремо. Далі $x^2-4+5-x^2 = 1$.
Пункт 4 — змінна залишається в різниці. $m^2+2$ залежить від $m$, але при будь-якому $m$ виконується $m^2 \geqslant 0$, тому $m^2+2 \geqslant 2$. Це типовий аргумент: «мінімум виразу додатний».
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.