Вправа 1.14 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.14. Доведіть нерівність:
- $x^2 + y^2 \geqslant -2xy$;
- $p(p - 6) \geqslant -9$;
- $a(a + b) \geqslant ab$;
- $m^2 + 5m + 4 \geqslant m$.
1) $x^2 + y^2 \geqslant -2xy$
$x^2 + y^2 - (-2xy) = x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \geqslant 0$,
отже $x^2 + y^2 \geqslant -2xy$. ∎
2) $p(p - 6) \geqslant -9$
$p(p-6) - (-9) = p^2 - 6p + 9 = (p - 3)^2 \geqslant 0$,
отже $p(p-6) \geqslant -9$. ∎
3) $a(a + b) \geqslant ab$
$a(a+b) - ab = a^2 + ab - ab = a^2 \geqslant 0$,
отже $a(a+b) \geqslant ab$. ∎
4) $m^2 + 5m + 4 \geqslant m$
$m^2 + 5m + 4 - m = m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2 \geqslant 0$,
отже $m^2 + 5m + 4 \geqslant m$. ∎
Метод різниць
Щоб довести $A \geqslant B$: показати $A - B \geqslant 0$.
Квадрат суми і різниці
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \geqslant 0$.
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \geqslant 0$.
Властивість квадрата
$a^2 \geqslant 0$ для будь-якого $a$; рівність при $a = 0$.
Ключовий прийом цієї вправи — звести різницю частин до повного квадрата. Побачив $(x+y)^2$ або $(p-3)^2$ — одразу пишеш $\geqslant 0$, доведення готове.
Як здогадатись про повний квадрат. У пункті (2): $p^2 - 6p + 9$ — тричлен, перевіряємо: $\left(\dfrac{6}{2}\right)^2 = 9$ ✓. У пункті (4): $m^2 + 4m + 4$ — аналогічно: $\left(\dfrac{4}{2}\right)^2 = 4$ ✓.
Пункт 3 — найпростіший. Різниця одразу дає $a^2$ без жодного розкладання.
Знак нерівності нестрогий (≥), бо квадрат може дорівнювати нулю. Наприклад, у (1) рівність при $x = -y$; у (2) — при $p = 3$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.