Вправа 1.15 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.15. Доведіть нерівність:
- $m^2 + n^2 \geqslant 2mn$;
- $t(t + 2) \geqslant -1$;
- $c(c - d) \geqslant -cd$;
- $p^2 - 11p + 36 \geqslant p$.
1) $m^2 + n^2 \geqslant 2mn$
$m^2 + n^2 - 2mn = (m - n)^2 \geqslant 0$,
отже $m^2 + n^2 \geqslant 2mn$. ∎
2) $t(t + 2) \geqslant -1$
$t(t+2) - (-1) = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2 \geqslant 0$,
отже $t(t+2) \geqslant -1$. ∎
3) $c(c - d) \geqslant -cd$
$c(c-d) - (-cd) = c^2 - cd + cd = c^2 \geqslant 0$,
отже $c(c-d) \geqslant -cd$. ∎
4) $p^2 - 11p + 36 \geqslant p$
$p^2 - 11p + 36 - p = p^2 - 12p + 36 = (p - 6)^2 \geqslant 0$,
отже $p^2 - 11p + 36 \geqslant p$. ∎
Метод різниць + повний квадрат
Щоб довести $A \geqslant B$: показати $A - B \geqslant 0$, звівши до повного квадрата або $a^2$.
Нерівність між середнім арифметичним і геометричним
Пункт 1 — це відома нерівність: $\dfrac{m^2 + n^2}{2} \geqslant mn$, або $m^2 + n^2 \geqslant 2mn$.
Рівність — лише при $m = n$.
Пункт 1 — класична нерівність. $m^2 + n^2 \geqslant 2mn$ — це одна з найважливіших нерівностей алгебри. Її доведення через $(m-n)^2 \geqslant 0$ треба знати напам'ять. З неї випливає нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним.
Пункт 4 — треба здогадатись. $p^2 - 12p + 36$: перевіряємо, чи є повний квадрат: $\left(\dfrac{12}{2}\right)^2 = 36$ ✓. Отже $(p-6)^2$. Якщо не впізнаєш одразу — виділяй повний квадрат за формулою $p^2 - 12p + 36 = (p-6)^2 + (36-36) = (p-6)^2$.
У всіх пунктах нерівність нестрога — квадрат дорівнює нулю при певному значенні змінної. Рівність у (1) при $m=n$, у (2) при $t=-1$, у (3) при $c=0$, у (4) при $p=6$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.