Вправа 1.16 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.16. Порівняйте числа:
- $\sqrt{5} - 2$ і $\dfrac{1}{\sqrt{5} + 2}$;
- $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ і $\dfrac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$.
1) $\sqrt{5} - 2$ і $\dfrac{1}{\sqrt{5} + 2}$
Раціоналізуємо дріб, множачи чисельник і знаменник на $(\sqrt{5} - 2)$:
$\dfrac{1}{\sqrt{5}+2} = \dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \dfrac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2$.
Отже обидва числа рівні. $\sqrt{5} - 2 = \dfrac{1}{\sqrt{5}+2}$.
2) $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ і $\dfrac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$
Раціоналізуємо дріб:
$\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{7-3} = \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{4}$.
Оскільки $\sqrt{7}+\sqrt{3} > 0$, то $\sqrt{7}+\sqrt{3} > \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{4}$.
Отже $\sqrt{7} + \sqrt{3} > \dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$.
Раціоналізація знаменника
$\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$.
$\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$.
Різниця квадратів
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a - b$.
Прийом: раціоналізація. Дріб з коренями в знаменнику важко порівнювати напряму. Множимо чисельник і знаменник на спряжений вираз — і знаменник стає цілим числом.
Пункт 1 — несподівана рівність. $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = 5-4=1$, тому $\dfrac{1}{\sqrt{5}+2} = \sqrt{5}-2$. Ці два вирази є взаємно оберненими до числа $1$ — тобто один є оберненим іншого лише коли їх добуток дорівнює 1.
Пункт 2 — чому не рівні. $(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3}) = 7-3=4 \neq 1$, тому після раціоналізації отримуємо не сам вираз, а його чверть. Звідси нерівність.
Правило вибору множника. Якщо знаменник $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ — множимо на $\sqrt{a}-\sqrt{b}$; якщо $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ — на $\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Спряжений вираз завжди відрізняється знаком між доданками.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.