Вправа 1.17 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.17. Порівняйте числа:
- $\sqrt{3} - 1$ і $\dfrac{1}{\sqrt{3} + 1}$;
- $4 + \sqrt{15}$ і $\dfrac{1}{4 - \sqrt{15}}$.
1) $\sqrt{3} - 1$ і $\dfrac{1}{\sqrt{3} + 1}$
Раціоналізуємо дріб:
$\dfrac{1}{\sqrt{3}+1} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$.
Оскільки $\sqrt{3}-1 > 0$, то $\sqrt{3}-1 > \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$.
Отже $\sqrt{3} - 1 > \dfrac{1}{\sqrt{3}+1}$.
2) $4 + \sqrt{15}$ і $\dfrac{1}{4 - \sqrt{15}}$
Раціоналізуємо дріб:
$\dfrac{1}{4-\sqrt{15}} = \dfrac{4+\sqrt{15}}{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})} = \dfrac{4+\sqrt{15}}{16-15} = 4+\sqrt{15}$.
Обидва числа рівні. $4 + \sqrt{15} = \dfrac{1}{4-\sqrt{15}}$.
Раціоналізація знаменника
$\dfrac{1}{\sqrt{a}+b} = \dfrac{\sqrt{a}-b}{a-b^2}$; $\dfrac{1}{a-\sqrt{b}} = \dfrac{a+\sqrt{b}}{a^2-b}$.
Різниця квадратів
$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b$.
Вправа дзеркальна до 1.16. Той самий прийом раціоналізації, але результати різні: пункт 1 — нерівність, пункт 2 — рівність.
Чому в пункті 1 нерівність. $(√3+1)(√3-1) = 3-1 = 2$, тому після раціоналізації отримуємо $\dfrac{√3-1}{2}$ — удвічі менше. Ціле число в знаменнику після розкладання — $2$, а не $1$.
Чому в пункті 2 рівність. $(4-√15)(4+√15) = 16-15 = 1$. Знаменник після розкладання — $1$, тому дріб рівний чисельнику. Це той самий ефект, що і в пункті 1 вправи 1.16: добуток двох виразів дорівнює 1.
Швидкий орієнтир. Якщо $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2-b = 1$, то числа рівні. Якщо $a^2-b \neq 1$ — нерівні, і треба порівнювати знак різниці.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.