Вправа 1.18 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.18. Доведіть нерівність:
- $a^2 + 10a + 26 > 0$;
- $8a < a^2 + 20$.
1) $a^2 + 10a + 26 > 0$
$a^2 + 10a + 26 = (a^2 + 10a + 25) + 1 = (a + 5)^2 + 1$.
$(a + 5)^2 \geqslant 0$ для будь-якого $a$, тому $(a + 5)^2 + 1 \geqslant 1 > 0$.
Нерівність доведено.
2) $8a < a^2 + 20$
$a^2 + 20 - 8a = a^2 - 8a + 20 =$
$= (a^2 - 8a + 16) + 4 = (a - 4)^2 + 4$.
$(a - 4)^2 \geqslant 0$, тому $(a - 4)^2 + 4 \geqslant 4 > 0$.
Отже, $a^2 + 20 - 8a > 0$, тобто $8a < a^2 + 20$.
Виділення повного квадрата
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Щоб виділити повний квадрат у виразі $a^2 + pa + q$, подамо його як $(a + \dfrac{p}{2})^2 + (q - \dfrac{p^2}{4})$.
Властивість квадрата
Для будь-якого дійсного числа $x$: $x^2 \geqslant 0$.
$x^2 = 0$ тоді й тільки тоді, коли $x = 0$.
Схема доведення нерівності $f(a) > 0$
1) Перетворити вираз так, щоб він набув вигляду $(\ldots)^2 + c$, де $c > 0$.
2) Зробити висновок: квадрат невід'ємний, додаємо додатне — результат додатний.
Ідея доведення. Треба показати, що вираз завжди додатний. Найпростіший спосіб — виділити повний квадрат. Квадрат завжди $\geqslant 0$, і якщо до нього додати додатне число — сума завжди $> 0$.
Як знайти, що виносити в квадрат? У виразі $a^2 + 10a + 26$ подивись на коефіцієнт при $a$: це $10$. Половина — $5$. Тоді $(a + 5)^2 = a^2 + 10a + 25$. Залишок: $26 - 25 = 1$. Отже, вираз $= (a + 5)^2 + 1$.
Чому в (2) спочатку переносимо все в один бік? Нерівність $8a < a^2 + 20$ доводити напряму незручно — нема з чим порівнювати. Перенесемо $8a$ праворуч: $0 < a^2 - 8a + 20$, і далі вже доводимо додатність виразу $a^2 - 8a + 20$ тим самим способом.
Чи можна перевірити підстановкою? Так, але підстановка — це НЕ доведення. Підстав $a = 0$: $0 < 20$ ✓; $a = 4$: $32 < 36$ ✓. Все сходиться, але для доведення треба показати, що нерівність виконується для будь-якого $a$, а не лише для окремих значень.
Часті помилки. 1) Написати «очевидно, що $a^2 + 10a + 26 > 0$» без перетворень — це не доведення. 2) Невірно виділити квадрат: $(a + 10)^2$ замість $(a + 5)^2$ — половина коефіцієнта, а не весь. 3) Забути перевірити, що залишок додатний: якби він був від'ємним, доведення не працювало б.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.