Вправа 1.19 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.19. Доведіть нерівність:
- $b^2 - 4b + 7 > 0$;
- $-2b < b^2 + 2$.
1) $b^2 - 4b + 7 > 0$
$b^2 - 4b + 7 = (b^2 - 4b + 4) + 3 = (b - 2)^2 + 3$.
$(b - 2)^2 \geqslant 0$, тому $(b - 2)^2 + 3 \geqslant 3 > 0$.
Нерівність доведено.
2) $-2b < b^2 + 2$
$b^2 + 2b + 2 = (b^2 + 2b + 1) + 1 = (b + 1)^2 + 1$.
$(b + 1)^2 \geqslant 0$, тому $(b + 1)^2 + 1 \geqslant 1 > 0$.
Отже, $b^2 + 2b + 2 > 0$, тобто $-2b < b^2 + 2$.
Виділення повного квадрата
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Для виразу $a^2 + pa + q$: подаємо як $(a + \dfrac{p}{2})^2 + (q - \dfrac{p^2}{4})$.
Властивість квадрата
Для будь-якого дійсного $x$: $x^2 \geqslant 0$. Рівність лише при $x = 0$.
Доведення нерівності $f < g$
Переносимо все в один бік і доводимо, що $g - f > 0$ (або $f - g < 0$).
Пункт (1) — за тим самим принципом, що й 1.18. Коефіцієнт при $b$ дорівнює $-4$, половина — $-2$, тому квадрат $(b - 2)^2 = b^2 - 4b + 4$. Залишок: $7 - 4 = 3 > 0$.
Пункт (2) — спочатку перенести все в один бік. Нерівність $-2b < b^2 + 2$ рівносильна $0 < b^2 + 2b + 2$. Далі виділяємо повний квадрат у виразі $b^2 + 2b + 2$.
Перевірка. $b = 0$: $0 < 2$ ✓. $b = -1$: $2 < 1 + 2 = 3$ ✓. $b = 100$: $-200 < 10002$ ✓. Підстановка підтверджує, але не замінює доведення.
Часті помилки. 1) У (2) перенести з неправильним знаком: написати $b^2 - 2b + 2$ замість $b^2 + 2b + 2$. 2) Забути, що доводити треба для будь-якого $b$, а не підбирати окремі числа.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.