Вправа 1.20 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.20. Нехай $x$ — довільне число. Порівняйте з нулем значення виразу:
- $x^2 + 5$;
- $-(x - 1)^2 - 3$;
- $(x - 7)^2$;
- $-(x + 9)^2$;
- $9 + (x - 1)^2$;
- $(x - 1)^2 + (x - 2)^2$.
1) $x^2 + 5$
$x^2 \geqslant 0$, тому $x^2 + 5 \geqslant 5$. Отже, $x^2 + 5 > 0$.
2) $-(x - 1)^2 - 3$
$(x - 1)^2 \geqslant 0$, тому $-(x - 1)^2 \leqslant 0$ і $-(x - 1)^2 - 3 \leqslant -3$.
Отже, $-(x - 1)^2 - 3 < 0$.
3) $(x - 7)^2$
Квадрат будь-якого числа невід'ємний: $(x - 7)^2 \geqslant 0$.
4) $-(x + 9)^2$
$(x + 9)^2 \geqslant 0$, тому $-(x + 9)^2 \leqslant 0$.
5) $9 + (x - 1)^2$
$(x - 1)^2 \geqslant 0$, тому $9 + (x - 1)^2 \geqslant 9$. Отже, $9 + (x - 1)^2 > 0$.
6) $(x - 1)^2 + (x - 2)^2$
$(x - 1)^2 \geqslant 0$ і $(x - 2)^2 \geqslant 0$, тому сума $\geqslant 0$.
Рівність нулю можлива лише коли обидва квадрати одночасно дорівнюють нулю: $x = 1$ і $x = 2$, що неможливо.
Отже, $(x - 1)^2 + (x - 2)^2 > 0$.
Властивість квадрата
Для будь-якого дійсного $x$: $x^2 \geqslant 0$. Рівність лише при $x = 0$.
Наслідки для порівняння з нулем
$(\ldots)^2 + c > 0$, якщо $c > 0$ (сума невід'ємного і додатного завжди додатна).
$-(\ldots)^2 + c < 0$, якщо $c < 0$ (сума недодатного і від'ємного завжди від'ємна).
$(\ldots)^2 \geqslant 0$ (нестрога нерівність — рівність досягається).
$-(\ldots)^2 \leqslant 0$ (нестрога — рівність досягається).
Строга чи нестрога нерівність? Це ключове питання вправи. Якщо до квадрата додається додатне число — вираз строго більший за нуль (не може дорівнювати нулю). Якщо нічого не додається — нерівність нестрога, бо квадрат може дорівнювати нулю.
Пункт (6) — найцікавіший. Кожен квадрат окремо може дорівнювати нулю, але не одночасно: $(x-1)^2 = 0$ при $x = 1$, а $(x-2)^2 = 0$ при $x = 2$. Одне число не може бути одночасно й $1$, й $2$. Тому сума завжди строго додатна.
Мінус перед квадратом. У пунктах (2) і (4) мінус перед квадратом «перевертає» знак: квадрат $\geqslant 0$, але $-$квадрат $\leqslant 0$. Якщо ще відняти додатне число (як у п. 2) — вираз стає строго від'ємним.
Часті помилки. 1) У (3) написати $(x-7)^2 > 0$ (строга) замість $\geqslant 0$ (нестрога) — при $x = 7$ квадрат дорівнює нулю. 2) У (6) написати $\geqslant 0$ замість $> 0$ — не помітити, що нуль неможливий. 3) У (4) забути мінус і написати $\geqslant 0$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.