Вправа 1.21 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.21. Доведіть, що:
- $x^3 - 3x^2 + x - 3 \geqslant 0$, якщо $x \geqslant 3$;
- $\dfrac{3}{a + 3} > \dfrac{1}{a + 1}$, якщо $a$ — додатне число.
1) $x^3 - 3x^2 + x - 3 \geqslant 0$, якщо $x \geqslant 3$
$x^3 - 3x^2 + x - 3 = x^2(x - 3) + (x - 3) =$
$= (x - 3)(x^2 + 1)$.
При $x \geqslant 3$: $x - 3 \geqslant 0$, $x^2 + 1 > 0$.
Добуток невід'ємного і додатного невід'ємний: $(x - 3)(x^2 + 1) \geqslant 0$.
Нерівність доведено.
2) $\dfrac{3}{a + 3} > \dfrac{1}{a + 1}$, якщо $a > 0$
$\dfrac{3}{a + 3} - \dfrac{1}{a + 1} = \dfrac{3(a + 1) - (a + 3)}{(a + 3)(a + 1)} =$
$= \dfrac{3a + 3 - a - 3}{(a + 3)(a + 1)} = \dfrac{2a}{(a + 3)(a + 1)}$.
При $a > 0$: чисельник $2a > 0$; знаменник $(a + 3)(a + 1) > 0$.
Отже, дріб додатний, тобто $\dfrac{3}{a + 3} > \dfrac{1}{a + 1}$.
Групування для розкладання на множники
Якщо вираз має 4 доданки, спробуй згрупувати по два і винести спільний множник:
$ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d)$.
Знак добутку і частки
Добуток (частка) двох чисел одного знака — додатний.
Добуток (частка) двох чисел різних знаків — від'ємний.
Порівняння дробів через різницю
Щоб довести $\dfrac{A}{B} > \dfrac{C}{D}$, достатньо показати, що $\dfrac{A}{B} - \dfrac{C}{D} > 0$.
Зводимо до спільного знаменника і визначаємо знак.
Як побачити групування в (1)? Маємо $x^3 - 3x^2 + x - 3$. Перші два доданки: $x^2(x - 3)$. Останні два: $1 \cdot (x - 3)$. Спільний множник $(x - 3)$ — і саме він «працює» з умовою $x \geqslant 3$.
Чому в (1) нерівність нестрога? Бо при $x = 3$ вираз дорівнює нулю: $(3 - 3)(9 + 1) = 0$. Тому саме $\geqslant 0$, а не $> 0$.
Стратегія пункту (2). Порівнюємо два дроби — переносимо один з них і зводимо до спільного знаменника. Далі визначаємо знак чисельника і знаменника окремо. Якщо обидва додатні — дріб додатний.
Навіщо умова $a > 0$? Без неї нерівність не завжди виконується. Наприклад, при $a = -2$: $\dfrac{3}{1} = 3$ і $\dfrac{1}{-1} = -1$, тобто $3 > -1$ — тут працює. Але при $a = -4$: $\dfrac{3}{-1} = -3$ і $\dfrac{1}{-3}$, тобто $-3 < -\dfrac{1}{3}$ — не працює. Умова $a > 0$ гарантує, що знаменники додатні і чисельник різниці теж додатний.
Часті помилки. 1) У (1) намагатися виділити повний квадрат — це кубічний вираз, тут потрібне розкладання на множники. 2) У (2) «скоротити»: $\dfrac{3}{a+3} \neq \dfrac{1}{a+1}$ через скорочення трійок — так не можна, трійка додається, а не множиться. 3) У (2) забути перевірити знак знаменника.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.