Вправа 1.22 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.22. Доведіть, що:
- $m^3 + m^2 + 5m + 5 \geqslant 0$, якщо $m \geqslant -1$;
- $\dfrac{p}{p + 7} < \dfrac{p + 1}{p + 8}$, якщо $p$ — додатне число.
1) $m^3 + m^2 + 5m + 5 \geqslant 0$, якщо $m \geqslant -1$
$m^3 + m^2 + 5m + 5 = m^2(m + 1) + 5(m + 1) =$
$= (m + 1)(m^2 + 5)$.
При $m \geqslant -1$: $m + 1 \geqslant 0$, $m^2 + 5 > 0$.
Добуток невід'ємного і додатного невід'ємний: $(m + 1)(m^2 + 5) \geqslant 0$.
Нерівність доведено.
2) $\dfrac{p}{p + 7} < \dfrac{p + 1}{p + 8}$, якщо $p > 0$
$\dfrac{p}{p + 7} - \dfrac{p + 1}{p + 8} = \dfrac{p(p + 8) - (p + 1)(p + 7)}{(p + 7)(p + 8)} =$
$= \dfrac{p^2 + 8p - p^2 - 8p - 7}{(p + 7)(p + 8)} = \dfrac{-7}{(p + 7)(p + 8)}$.
При $p > 0$: знаменник $(p + 7)(p + 8) > 0$, чисельник $-7 < 0$.
Отже, дріб від'ємний, тобто $\dfrac{p}{p + 7} < \dfrac{p + 1}{p + 8}$.
Групування для розкладання на множники
$ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d)$.
Групувати потрібно так, щоб спільний множник відповідав умові задачі.
Порівняння дробів через різницю
$\dfrac{A}{B} < \dfrac{C}{D}$ ⟺ $\dfrac{A}{B} - \dfrac{C}{D} < 0$.
Зводимо до спільного знаменника, визначаємо знак чисельника і знаменника.
Знак добутку і частки
Добуток (частка) двох чисел одного знака — додатний.
Добуток (частка) двох чисел різних знаків — від'ємний.
Пункт (1) — аналог вправи 1.21(1). Той самий прийом групування: перші два доданки $m^2(m + 1)$, останні два $5(m + 1)$. Спільний множник $(m + 1)$, а умова $m \geqslant -1$ якраз гарантує $m + 1 \geqslant 0$.
Чому другий множник $m^2 + 5$ завжди додатний? Бо $m^2 \geqslant 0$, і додаючи $5$ отримуємо мінімум $5$. Це не залежить від умови — працює для будь-якого $m$.
Елегантність пункту (2). Після зведення до спільного знаменника всі доданки з $p$ скорочуються, і чисельник стає константою $-7$. Це означає, що нерівність виконується не лише для додатних $p$, а для будь-яких $p$, при яких знаменники додатні (тобто $p > -7$). Але в умові сказано $p > 0$ — цього достатньо.
Перевірка (2). $p = 1$: $\dfrac{1}{8}$ і $\dfrac{2}{9}$. Порівняємо: $\dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{72}$, $\dfrac{2}{9} = \dfrac{16}{72}$. Справді $\dfrac{9}{72} < \dfrac{16}{72}$ ✓.
Часті помилки. 1) У (1) не побачити групування і намагатися виділити повний квадрат у кубічному виразі. 2) У (2) при розкритті $(p+1)(p+7)$ забути доданок: правильно $p^2 + 8p + 7$, а не $p^2 + 7p + 7$. 3) Зробити висновок «дріб додатний» замість «від'ємний», коли чисельник від'ємний.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.