Вправа 1.23 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.23. Доведіть нерівність:
- $m^2 + 4m + p^2 + 2p + 5 \geqslant 0$;
- $a^2 + b^2 \geqslant 4(a + b) - 8$;
- $m^2 + n^2 + 1 \geqslant m + n + mn$;
- $a^2 + b^2 + c^2 > 2(a + b + c) - 4$.
1) $m^2 + 4m + p^2 + 2p + 5 \geqslant 0$
$m^2 + 4m + p^2 + 2p + 5 =$
$= (m^2 + 4m + 4) + (p^2 + 2p + 1) =$
$= (m + 2)^2 + (p + 1)^2$.
$(m + 2)^2 \geqslant 0$, $(p + 1)^2 \geqslant 0$, тому їх сума $\geqslant 0$.
Нерівність доведено.
2) $a^2 + b^2 \geqslant 4(a + b) - 8$
$a^2 + b^2 - 4a - 4b + 8 =$
$= (a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 4b + 4) =$
$= (a - 2)^2 + (b - 2)^2 \geqslant 0$.
Отже, $a^2 + b^2 - 4(a + b) + 8 \geqslant 0$, тобто $a^2 + b^2 \geqslant 4(a + b) - 8$.
3) $m^2 + n^2 + 1 \geqslant m + n + mn$
$m^2 + n^2 + 1 - m - n - mn =$
$= \dfrac{1}{2}(2m^2 + 2n^2 + 2 - 2m - 2n - 2mn) =$
$= \dfrac{1}{2}\bigl((m^2 - 2mn + n^2) + (m^2 - 2m + 1) +$
$+ (n^2 - 2n + 1)\bigr) =$
$= \dfrac{1}{2}\bigl((m - n)^2 + (m - 1)^2 + (n - 1)^2\bigr) \geqslant 0$.
Нерівність доведено.
4) $a^2 + b^2 + c^2 > 2(a + b + c) - 4$
$a^2 + b^2 + c^2 - 2a - 2b - 2c + 4 =$
$= (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 1$.
$= a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 + c^2 - 2c + 1$;
$= a^2 + b^2 + c^2 - 2a - 2b - 2c + 3$;
додаючи $1$, отримуємо $+4$.
Сума трьох квадратів $\geqslant 0$, тому вираз $\geqslant 1 > 0$.
Нерівність доведено.
Виділення повного квадрата
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$; $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Властивість квадрата і суми квадратів
$x^2 \geqslant 0$ для будь-якого $x$.
Сума квадратів $\geqslant 0$. Сума квадратів $= 0$ лише коли всі доданки одночасно $= 0$.
Прийом множення на $\dfrac{1}{2}$
Якщо вираз не розкладається на суму двох квадратів, спробуй подвоїти його ($\cdot 2$), потім згрупувати в три квадрати й поділити на $2$.
Пункт (1) — класичне виділення двох квадратів. Ключ: $5 = 4 + 1$. Четвірка «з'їдається» квадратом $(m+2)^2$, одиниця — квадратом $(p+1)^2$. Перевірка: $(m+2)^2 + (p+1)^2 = m^2 + 4m + 4 + p^2 + 2p + 1 = m^2 + 4m + p^2 + 2p + 5$ ✓.
Пункт (2) — перенеси все в один бік. $a^2 + b^2 - 4a - 4b + 8$. Тепер бачиш два «окремих» блоки: доданки з $a$ окремо, доданки з $b$ окремо. Кожен блок — повний квадрат.
Пункт (3) — найскладніший. Тут три змінні перемішані через доданок $mn$. Прийом: помнож вираз на $2$, щоб отримати парні коефіцієнти, і згрупуй у три квадрати: $(m - n)^2$, $(m - 1)^2$, $(n - 1)^2$. Потім поділи на $2$ — результат не змінюється, бо $\dfrac{1}{2} > 0$.
Пункт (4) — строга нерівність. Три квадрати $(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2$ дають лише $+3$, а треба $+4$. Залишок $+1$ робить нерівність строгою: навіть коли всі квадрати дорівнюють нулю, сума $= 1 > 0$.
Часті помилки. 1) У (3) забути поділити на $2$ в кінці — отримати $2(m^2 + n^2 + 1 - m - n - mn) \geqslant 0$ замість самого виразу. 2) У (4) написати $\geqslant 0$ (нестрога) замість $> 0$ (строга). 3) У (2) неправильно розкрити $4(a+b) = 4a + 4b$, забувши мінус при перенесенні.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.