Вправа 1.24 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.24. Для кожного додатного значення $a$ доведіть, що:
- $a^3 + 2a^2 + a > 0$;
- $a^3 + 1 \geqslant a^2 + a$;
- $(a + 1)^3 \leqslant 4(a^3 + 1)$;
- $a^6 - a^5 + a^4 > 0$.
1) $a^3 + 2a^2 + a > 0$
$a^3 + 2a^2 + a = a(a^2 + 2a + 1) = a(a + 1)^2$.
При $a > 0$: $a > 0$, $(a + 1)^2 > 0$. Добуток двох додатних додатний.
Нерівність доведено.
2) $a^3 + 1 \geqslant a^2 + a$
$a^3 + 1 - a^2 - a = a^2(a - 1) - (a - 1) =$
$= (a - 1)(a^2 - 1) = (a - 1)(a - 1)(a + 1) =$
$= (a - 1)^2(a + 1)$.
При $a > 0$: $(a - 1)^2 \geqslant 0$, $a + 1 > 0$. Добуток $\geqslant 0$.
Нерівність доведено.
3) $(a + 1)^3 \leqslant 4(a^3 + 1)$
$4(a^3 + 1) - (a + 1)^3 =$
$= 4a^3 + 4 - a^3 - 3a^2 - 3a - 1 =$
$= 3a^3 - 3a^2 - 3a + 3 =$
$= 3(a^3 - a^2 - a + 1) = 3(a - 1)^2(a + 1)$.
При $a > 0$: $3 > 0$, $(a - 1)^2 \geqslant 0$, $a + 1 > 0$. Добуток $\geqslant 0$.
Отже, $4(a^3 + 1) - (a + 1)^3 \geqslant 0$, тобто $(a + 1)^3 \leqslant 4(a^3 + 1)$.
4) $a^6 - a^5 + a^4 > 0$
$a^6 - a^5 + a^4 = a^4(a^2 - a + 1)$.
$a^2 - a + 1 = \left(a - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$.
При $a > 0$: $a^4 > 0$, $a^2 - a + 1 > 0$. Добуток додатний.
Нерівність доведено.
Винесення спільного множника
Якщо в усіх доданках є $a$ або $a^k$ — виносимо його за дужки.
Розкладання групуванням
$a^3 - a^2 - a + 1 = a^2(a - 1) - (a - 1) = (a - 1)(a^2 - 1) = (a - 1)^2(a + 1)$.
Куб суми
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Знак добутку множників
Добуток кількох множників $\geqslant 0$, якщо кожен із них $\geqslant 0$ (або парна кількість від'ємних).
Спільна ідея: розкласти вираз на множники й показати, що кожен множник має потрібний знак при $a > 0$.
Пункти (2) і (3) мають однакове ядро. В обох з'являється розкладання $a^3 - a^2 - a + 1 = (a-1)^2(a+1)$. У (2) воно виникає безпосередньо, а в (3) — після розкриття куба суми й спрощення, з коефіцієнтом $3$.
Пункт (4) — виділення повного квадрата в коефіцієнті. Після винесення $a^4$ залишається $a^2 - a + 1$. Це квадратний тричлен з від'ємним дискримінантом ($D = 1 - 4 = -3 < 0$), тому він завжди додатний. Або через виділення квадрата: $\left(a - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}$.
Чому в (1) строга нерівність? Бо $a(a+1)^2 = 0$ лише при $a = 0$ або $a = -1$, а обидва значення не входять в умову $a > 0$.
Часті помилки. 1) У (3) неправильно розкрити $(a+1)^3$ — пропустити середні доданки. 2) У (2) не довести розкладання $(a-1)(a^2-1) = (a-1)^2(a+1)$, забувши що $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$. 3) У (4) записати $a^4 \geqslant 0$ замість $a^4 > 0$ — при $a > 0$ рівності нулю бути не може.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.