Вправа 1.25 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.25. Для кожного від'ємного значення $p$ доведіть, що:
- $p^3 + 10p^2 + 25p \leqslant 0$;
- $1 - p^3 > p - p^2$.
1) $p^3 + 10p^2 + 25p \leqslant 0$
$p^3 + 10p^2 + 25p = p(p^2 + 10p + 25) = p(p + 5)^2$.
При $p < 0$: $p < 0$, $(p + 5)^2 \geqslant 0$.
Добуток від'ємного і невід'ємного $\leqslant 0$.
Нерівність доведено.
2) $1 - p^3 > p - p^2$
$1 - p^3 - p + p^2 =$
$= (1 - p^3) + (p^2 - p) =$
$= (1 - p)(1 + p + p^2) + p(p - 1) =$
$= (1 - p)(1 + p + p^2) - p(1 - p) =$
$= (1 - p)(p^2 + p + 1 - p) = (1 - p)(p^2 + 1)$.
При $p < 0$: $1 - p > 1 > 0$, $p^2 + 1 > 0$. Добуток додатний.
Нерівність доведено.
Винесення спільного множника
$pa + pb + pc = p(a + b + c)$.
Різниця кубів
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Зокрема, $1 - p^3 = (1 - p)(1 + p + p^2)$.
Знак добутку
Добуток від'ємного і невід'ємного числа $\leqslant 0$.
Добуток двох додатних чисел $> 0$.
Пункт (1) — повний аналог 1.24(1), але для від'ємного $p$. Після винесення $p$ за дужки залишається $(p + 5)^2 \geqslant 0$. Множник $p < 0$, тому добуток $\leqslant 0$. Рівність нулю при $p = -5$: $(-5)(-5+5)^2 = (-5) \cdot 0 = 0$ — тому нерівність нестрога.
Пункт (2) — групування з використанням різниці кубів. Формула $1 - p^3 = (1-p)(1 + p + p^2)$ допомагає виділити множник $(1-p)$. Той самий множник ховається в доданку $p(p - 1) = -p(1 - p)$. Після винесення $(1-p)$ залишається $p^2 + 1 > 0$.
Альтернативний шлях для (2). Можна групувати інакше: $1 - p^3 - p + p^2 = (1 - p) + p^2(1 - p) \cdot \ldots$ — але тоді $p^2 - p = p(p - 1)$, а $1 - p^3$ потребує формули різниці кубів. Обидва шляхи ведуть до $(1 - p)(p^2 + 1)$.
Часті помилки. 1) У (1) забути, що нерівність нестрога ($\leqslant$, не $<$), бо при $p = -5$ вираз дорівнює нулю. 2) У (2) неправильно розкласти $1 - p^3$: написати $(1 - p)(1 - p + p^2)$ замість $(1 - p)(1 + p + p^2)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.