Вправа 1.26 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.26. Доведіть, що:
- $\dfrac{7a}{2b} + \dfrac{8b}{7a} \geqslant 4$, якщо $a$ і $b$ — числа одного знака;
- $\dfrac{3m}{5n} + \dfrac{5n}{12m} \leqslant -1$, якщо $m$ і $n$ — числа різних знаків.
1) $\dfrac{7a}{2b} + \dfrac{8b}{7a} \geqslant 4$
$\dfrac{7a}{2b} + \dfrac{8b}{7a} - 4 = \dfrac{49a^2 + 16b^2 - 56ab}{14ab} =$
$= \dfrac{(7a - 4b)^2}{14ab}$.
$a$ і $b$ одного знака $\Rightarrow$ $ab > 0$ $\Rightarrow$ $14ab > 0$.
$(7a - 4b)^2 \geqslant 0$. Отже, дріб $\geqslant 0$.
Нерівність доведено.
2) $\dfrac{3m}{5n} + \dfrac{5n}{12m} \leqslant -1$
$\dfrac{3m}{5n} + \dfrac{5n}{12m} + 1 = \dfrac{36m^2 + 25n^2 + 60mn}{60mn} =$
$= \dfrac{(6m + 5n)^2}{60mn}$.
$m$ і $n$ різних знаків $\Rightarrow$ $mn < 0$ $\Rightarrow$ $60mn < 0$.
$(6m + 5n)^2 \geqslant 0$. Дріб з невід'ємним чисельником і від'ємним знаменником $\leqslant 0$.
Отже, $\dfrac{3m}{5n} + \dfrac{5n}{12m} + 1 \leqslant 0$, тобто $\dfrac{3m}{5n} + \dfrac{5n}{12m} \leqslant -1$.
Зведення до спільного знаменника
$\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D} = \dfrac{AD + BC}{BD}$.
Повний квадрат у чисельнику
Якщо після зведення чисельник має вигляд $\alpha^2 x^2 \pm 2\alpha\beta xy + \beta^2 y^2$, то це $(\alpha x \pm \beta y)^2 \geqslant 0$.
Знак дробу
$\dfrac{(\ldots)^2}{\text{додатне}} \geqslant 0$; $\dfrac{(\ldots)^2}{\text{від'ємне}} \leqslant 0$.
Ключовий прийом: перенести число ($4$ або $-1$) в ліву частину, звести до спільного знаменника і побачити в чисельнику повний квадрат.
Як розпізнати повний квадрат? Після зведення в (1) чисельник $49a^2 + 16b^2 - 56ab$. Перевірка: $49 = 7^2$, $16 = 4^2$, $56 = 2 \cdot 7 \cdot 4$. Отже, це $(7a - 4b)^2$.
Чому в (1) нерівність нестрога? Рівність досягається при $7a = 4b$, тобто $\dfrac{a}{b} = \dfrac{4}{7}$. Наприклад, $a = 4$, $b = 7$: $\dfrac{28}{14} + \dfrac{56}{28} = 2 + 2 = 4$ ✓.
Зв'язок між (1) і (2). Обидва пункти побудовані за одним принципом. Різниця лише в знаку добутку змінних: в (1) $ab > 0$, в (2) $mn < 0$. Тому в (1) дріб $\geqslant 0$ (доводимо $\geqslant 4$), а в (2) дріб $\leqslant 0$ (доводимо $\leqslant -1$).
Часті помилки. 1) При зведенні до спільного знаменника забути помножити числове доданок ($4$ або $1$) на знаменник. 2) Неправильно визначити знак $mn$: «числа різних знаків» означає $mn < 0$, не $mn > 0$. 3) Записати висновок зі знаком $\geqslant$ замість $\leqslant$ у (2).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.