Вправа 1.27 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.27. Доведіть, що:
- $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$, якщо $a > 0$, $b > 0$;
- $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \leqslant -2$, якщо $a < 0$, $b > 0$.
1) $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$, якщо $a > 0$, $b > 0$
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2 = \dfrac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \dfrac{(a - b)^2}{ab}$.
$a > 0$, $b > 0$ $\Rightarrow$ $ab > 0$; $(a - b)^2 \geqslant 0$.
Дріб $\geqslant 0$, отже $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$.
2) $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \leqslant -2$, якщо $a < 0$, $b > 0$
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + 2 = \dfrac{a^2 + 2ab + b^2}{ab} = \dfrac{(a + b)^2}{ab}$.
$a < 0$, $b > 0$ $\Rightarrow$ $ab < 0$; $(a + b)^2 \geqslant 0$.
Дріб $\leqslant 0$, отже $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + 2 \leqslant 0$, тобто $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \leqslant -2$.
Зведення до спільного знаменника
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{a^2 + b^2}{ab}$.
Формули скороченого множення
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$; $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.
Знак дробу
$\dfrac{(\ldots)^2}{\text{додатне}} \geqslant 0$; $\dfrac{(\ldots)^2}{\text{від'ємне}} \leqslant 0$.
Це класична нерівність! Вираз $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$ часто зустрічається в олімпіадних задачах. Для додатних $a, b$ він завжди $\geqslant 2$, причому рівність при $a = b$.
Зв'язок між (1) і (2). Обидва пункти мають однакову структуру: переносимо число, зводимо до спільного знаменника, отримуємо повний квадрат у чисельнику. Різниця — у знаку знаменника: в (1) $ab > 0$, в (2) $ab < 0$.
Чому в (1) переносимо $2$, а в (2) переносимо $(-2)$? Тому що в чисельнику має вийти повний квадрат. Віднімаючи $2$: чисельник $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. Додаючи $2$: чисельник $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Обидва — квадрати, обидва $\geqslant 0$.
Перевірка (1). $a = 3$, $b = 1$: $\dfrac{3}{1} + \dfrac{1}{3} = 3\dfrac{1}{3} \geqslant 2$ ✓. $a = b = 5$: $1 + 1 = 2 \geqslant 2$ ✓ (рівність).
Перевірка (2). $a = -3$, $b = 1$: $\dfrac{-3}{1} + \dfrac{1}{-3} = -3\dfrac{1}{3} \leqslant -2$ ✓. $a = -1$, $b = 1$: $-1 + (-1) = -2 \leqslant -2$ ✓ (рівність при $|a| = |b|$).
Часті помилки. 1) У (2) перенести $2$ замість $(-2)$ — тоді в чисельнику не вийде квадрат. 2) Забути визначити знак $ab$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.