Вправа 1.28 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.28. Порівняйте значення виразів $m^3 + n^3$ і $mn(m + n)$, якщо $m$ і $n$ — додатні числа, $m \neq n$.
$m^3 + n^3 - mn(m + n) =$
$= m^3 + n^3 - m^2 n - mn^2 =$
$= m^2(m - n) - n^2(m - n) =$
$= (m - n)(m^2 - n^2) =$
$= (m - n)(m - n)(m + n) = (m - n)^2(m + n)$.
$m, n > 0$ $\Rightarrow$ $m + n > 0$; $m \neq n$ $\Rightarrow$ $(m - n)^2 > 0$.
Отже, $(m - n)^2(m + n) > 0$, тобто $m^3 + n^3 > mn(m + n)$.
Порівняння через різницю
Щоб порівняти $A$ і $B$, обчислюємо $A - B$:
$A - B > 0$ $\Rightarrow$ $A > B$; $A - B < 0$ $\Rightarrow$ $A < B$; $A - B = 0$ $\Rightarrow$ $A = B$.
Винесення спільного множника і групування
$m^2(m - n) - n^2(m - n) = (m - n)(m^2 - n^2)$.
$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$ — різниця квадратів.
Стратегія: порівняти два вирази — означає знайти знак їх різниці. Різницю розкладаємо на множники і визначаємо знак кожного.
Як з'явилось $(m-n)^2$? Після групування: $(m-n)(m^2-n^2)$. А $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$. Разом: $(m-n) \cdot (m-n) \cdot (m+n) = (m-n)^2(m+n)$.
Навіщо умова $m \neq n$? При $m = n$: $m^3 + n^3 = 2m^3$ і $mn(m+n) = m \cdot m \cdot 2m = 2m^3$. Вирази рівні! Тому для строгої нерівності потрібна умова $m \neq n$.
Перевірка. $m = 3$, $n = 1$: $27 + 1 = 28$ і $3 \cdot 1 \cdot 4 = 12$. Справді $28 > 12$ ✓. Різниця: $(3-1)^2(3+1) = 4 \cdot 4 = 16 = 28 - 12$ ✓.
Часті помилки. 1) Розкрити $mn(m+n) = m^2n + mn^2$ і далі заплутатися у знаках. 2) Не побачити, що $(m-n)(m^2-n^2)$ містить ще одне $(m-n)$. 3) Написати $\geqslant$ замість $>$ — умова $m \neq n$ гарантує строгу нерівність.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.