Вправа 1.35 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 1.35. Обчисліть значення суми:
$\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{9}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{49}+\sqrt{45}}$.
Раціоналізуємо кожен дріб. У кожному доданку різниця підкореневих виразів однакова: $5-1 = 9-5 = 13-9 = \ldots = 49-45 = 4$.
Загальний доданок:
$\dfrac{1}{\sqrt{a+4}+\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a+4}-\sqrt{a}}{(\sqrt{a+4}+\sqrt{a})(\sqrt{a+4}-\sqrt{a})} = \dfrac{\sqrt{a+4}-\sqrt{a}}{4}$.
Розпишемо суму після раціоналізації:
$\dfrac{1}{4}\bigl[(\sqrt{5}-\sqrt{1}) + (\sqrt{9}-\sqrt{5}) + (\sqrt{13}-\sqrt{9}) + \ldots + (\sqrt{49}-\sqrt{45})\bigr]$.
Сума телескопічна — всі проміжні доданки скорочуються:
$= \dfrac{1}{4}(\sqrt{49} - \sqrt{1}) = \dfrac{7 - 1}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$.
Раціоналізація знаменника
$\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$ (множимо на спряжений вираз).
Телескопічна сума
$(a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \ldots + (a_n - a_{n-1}) = a_n - a_1$.
Усі проміжні члени скорочуються — залишаються лише перший від'ємний і останній додатний.
Ключове спостереження — різниця підкореневих виразів у кожному доданку стала і дорівнює 4: $5-1=4$, $9-5=4$, $\ldots$, $49-45=4$. Саме тому після раціоналізації знаменник у кожному дробі однаковий і виноситься за дужку.
Телескопічна сума — найелегантніший прийом у таких задачах. Після раціоналізації кожен доданок має вигляд $\frac{\sqrt{a+4}-\sqrt{a}}{4}$, і при додаванні всі «внутрішні» корені скорочуються: $-\sqrt{5}+\sqrt{5}=0$, $-\sqrt{9}+\sqrt{9}=0$ тощо. Залишається лише $\sqrt{49}=7$ і $-\sqrt{1}=−1$.
Кількість доданків — 12 (від $a=1$ до $a=45$ з кроком 4: $1, 5, 9, \ldots, 45$). Але знати точну кількість для обчислення не потрібно — телескоп «стискається» сам.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.